1) Se r e s são as raízes da equação ax² + bx + c = 0 e “a” e “c” são diferentes de 0, qual é o valor de 1/(r²) + 1/(s²)? (Iezzi, vol 1, 7ª ed., pg. 145. ex. 247).

Resolução:

Para resolvermos este exercício precisamos lembrar que podemos encontrar a soma e o produto das raízes de uma equação. Sejas raízes r e s da equação ax² + bx + c =0:

r + s = -b/a

r.s = c/a

Se queremos saber 1/r² + 1/s² podemos mudar essa equação até que apareçam somente a soma e o produto das raízes:

1/r² + 1/s² = , tirando o mínimo,

= (s² + r²)/r².s²

= (s² + r²)/(r.s)²

No denominador já temos o produto delas, agora podemos transforma o numerador também. Se a soma é s + r, (s + r)² = s² + 2sr + r². E isso é o que temos no numerador a não ser o 2sr a mais. Então:

= (s² + r²)/(r.s)²

= [(s + r)² – 2s.r] / (r.s)²

Agora só temos soma e produto das raízes e podemos substituir aquelas expressões que vimos no início:

= [(s + r)² – 2s.r] / (r.s)²

= [(-b/a)² – 2c/a] / (c/a)²

= [b²/a² – 2c/a] / c²/a², tirando o mínimo no numerador,

= [b²/a² – 2ac/a²] / c²/a²

= [(b² – 2ac)/a²] / c²/a², como temos uma fração no denominador, vamos multiplicar seu inverso pelo numerador:

= [(b² – 2ac)/a²] / c²/a²

= [(b² – 2ac)/a²] . a²/c², cancelando a²,

= (b² – 2ac) / c²

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