Resolução:
Para resolvermos este exercício precisamos lembrar que podemos encontrar a soma e o produto das raízes de uma equação. Sejas raízes r e s da equação ax² + bx + c =0:
r + s = -b/a
r.s = c/a
Se queremos saber 1/r² + 1/s² podemos mudar essa equação até que apareçam somente a soma e o produto das raízes:
1/r² + 1/s² = , tirando o mínimo,
= (s² + r²)/r².s²
= (s² + r²)/(r.s)²
No denominador já temos o produto delas, agora podemos transforma o numerador também. Se a soma é s + r, (s + r)² = s² + 2sr + r². E isso é o que temos no numerador a não ser o 2sr a mais. Então:
= (s² + r²)/(r.s)²
= [(s + r)² – 2s.r] / (r.s)²
Agora só temos soma e produto das raízes e podemos substituir aquelas expressões que vimos no início:
= [(s + r)² – 2s.r] / (r.s)²
= [(-b/a)² – 2c/a] / (c/a)²
= [b²/a² – 2c/a] / c²/a², tirando o mínimo no numerador,
= [b²/a² – 2ac/a²] / c²/a²
= [(b² – 2ac)/a²] / c²/a², como temos uma fração no denominador, vamos multiplicar seu inverso pelo numerador:
= [(b² – 2ac)/a²] / c²/a²
= [(b² – 2ac)/a²] . a²/c², cancelando a²,
= (b² – 2ac) / c²