Resolução:
Como a equação é do segundo grau, ela só tem duas raízes. A diferença da maior para a menor será positiva.
Sabemos que a soma das raízes é dada por -b/a e o produto é c/a. No nosso caso, temos:
a = [7 + 4.raiz(3)]
b = [2 + raiz(3)]
c = -2
Como queremos saber a diferença entre as raízes, digamos que elas sejam x e y, podemos fazer o seguinte:
(x – y)² = x² – 2xy + y²
(x – y)² = x² + y² – 2xy
(x – y)² = x² + 2xy + y² – 2xy – 2xy
(x – y)² = (x + y)² – 2xy – 2xy
(x – y)² = (x + y)² – 4xy
Como sabemos a soma e o produto, podemos substituir:
(x – y)² = (x + y)² – 4xy
(x – y)² = (-b/a)² – 4c/a
(x – y)² = b²/a² – 4c/a
(x – y)² = [2 + raiz(3)]²/[7 + 4.raiz(3)]² – 4.(-2)/[7 + 4.raiz(3)]
(x – y)² = [4 + 2.2.raiz(3) + 3]/[7 + 4.raiz(3)]² + 8/[7 + 4.raiz(3)]
(x – y)² = [7 + 4.raiz(3)]/[7 + 4.raiz(3)]² + 8/[7 + 4.raiz(3)]
(x – y)² = 1/[7 + 4.raiz(3)] + 8/[7 + 4.raiz(3)]
(x – y)² = 9/[7 + 4.raiz(3)]
(x – y)² = 9/[4 + 4.raiz(3) + 3]
(x – y)² = 9/[2² + 2.2.raiz(3) + raiz(3)²]
(x – y)² = 9/[2 + raiz(3)]²
(x – y)² = 3²/[2 + raiz(3)]²
x – y = 3/[2 + raiz(3)]
x – y = 3.[2 – raiz(3)]/[2 + raiz(3)].[2 – raiz(3)]
x – y = [6 – 3.raiz(3)]/(4 – 3)
x – y = 6 – 3.raiz(3)