1) Resolva a equação abaixo, para x pertencente a [0, 2Pi]: (1 – tgx).(1 + sen 2x) = 1 + tgx

Resolução:

Eu fiz assim:
(1 – tgx)(1 + sen 2x) = 1 + tgx
[1 – (sen x)/(cos x)](1 + sen 2x) = 1 + (sen x)/(cos x), tirando o mínimo,
[(cos x – sen x)/(cos x)](1 + sen 2x) = (cos x)/(cos x) + (sen x)/(cos x)

Se cos x for zero, não teremos a tangente de x, então a equação não estará definida para este valor. Como cos x tem que ser diferente de zero, podemos cortar o denominador comum:
[(cos x – sen x)/(cos x)](1 + sen 2x) = (cos x)/(cos x) + (sen x)/(cos x)
(cos x – sen x)(1 + sen 2x) = cos x + sen x
cos x – sen x + (cox x).(sen 2x) – (sen x).(sen 2x) = cos x + sen x
-sen x + (cox x).(sen 2x) – (sen x).(sen 2x) = sen x
(cox x).(sen 2x) – (sen x).(sen 2x) – 2.sen x = 0

Colocando sen x em evidência (lembre-se que sen 2x = 2.sen x.cos x):
(cox x).(sen 2x) – (sen x).(sen 2x) – 2.sen x = 0
(sen x).[(cos x).2.(cos x) – (sen 2x) – 2] = 0
(sen x).[2.cos² x – sen 2x – 2] = 0

Como cos² x = 1 – sen² x:
(sen x).[2.cos² x – sen 2x – 2] = 0
(sen x).[2.(1 – sen² x) – sen 2x – 2] = 0
(sen x).(2 – 2.sen² x – sen 2x – 2) = 0
(sen x).(-2.sen² x – sen 2x) = 0

Colocando -2.sen x em evidência:
(sen x).(-2.sen² x – sen 2x) = 0
(sen x).(-2.sen x).(sen x + cos x) = 0
(-2.sen² x).(sen x + cos x) = 0

Então devemos ter sen x = 0 ou sen x = -cos x
sen x = 0
x = 0 ou x = pi

sen x = -cos x
sen x + cos x = 0
(sen x + cos x)² = 0
sen² x + 2.(sen x).(cos x) + cos² x = 0
2.(sen x).(cos x) + 1 = 0
2.(sen x).(cos x) = -1
sen 2x = -1
sen 2x = sen (3pi/2 + 2k.pi)

Como 0 <= x <= 2pi, podemos fazer k = 0 e k = 1 que encontraremos resposta nesse intervalo:
k = 0
sen 2x = sen (3pi/2)
2x = 3pi/2
x = 3pi/4

k = 1
sen 2x = sen (3pi/2 + 2pi)
sen 2x = sen (7pi/2)
2x = 7pi/2
x = 7pi/4

Resposta: x = 0, 3pi/4, pi, 7pi/4.