Resolução:
Seja o raio “r” do círculo inscrito e os catetos de medidas “b” e “c” temos que a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula de (base x altura)/2:
Área do triângulo = b.c/2
Mas também temos a fórmula da área do triângulo em função do raio da circunferência inscrita e do semi perímetro (p):
Área do triângulo = r.p
Área do triângulo = r.(a + b + c)/2
Então igualando as duas áreas:
b.c/2 = r.(a + b + c)/2
b.c = r.(a + b + c)
Além disso, há também uma propriedade do triângulo retângulo que diz que o produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa é igual ao produto dos catetos:
a.h(a) = b.c
E assim, podemos colocar isso na nossa equação:
b.c = r.(a + b + c)
a.h(a) = r.(a + b + c)
a/(a + b + c) = r/h(a)
Agora resta achar os valores máximo e mínimo de r/h(a). Vendo essa equação, você sabe que a razão:
a/(a + b + c)
será mínima quando o denominador for máximo e será máxima quando o denominador for mínimo. Então fazemos “a” constante para ver quando (b + c) é máximo e mínimo. Assim, r/h(a) é máximo quando (b + c) for mínimo e vice e versa.
Agora o problema trata-se de achar os valores máximo e mínimo de (b + c). Como estamos num triângulo sabemos que a soma de dois lados quaisquer devem ser no mínimo maiores que o terceiro lado, ou seja:
b + c > a
E colocando isso na nossa desigualdade teremos o valor máximo de r/h(a). Como b + c tem “a” como valor mínimo, se colocarmos o valor mínimo de b + c no denominador da desigualdade, a razão assume valor máximo:
r/h(a) = a/(a + b + c) < a/(a + a)
r/h(a) < a/(a + a)
r/h(a) < a/2a
r/h(a) < 1/2
* ver observação abaixo
Agora para acharmos o valor mínimo de r/h(a), precisamos do valor máximo de (b + c). Como temos um triângulo retângulo, sabemos que b2 + c2 = a2. Então podemos fazer:
b2 + c2 = a2
b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc
(b + c)2 = a2 + 2bc
b + c = raiz(a2 + 2bc)
E sabemos que (b + c) será máximo quando bc for máximo, já que “a” está constante. Então precisamos ter só b ou só c numa expressão para achar seu valor máximo. Isolando b em função de c no teorema de Pitágoras:
b2 + c2 = a2
b2 = a2 – c2
b = raiz(a2 – c2)
Agora fazendo bc:
bc = raiz(a2 – c2) . c
bc = raiz(a2.c2 – c4)
E agora bc terá valor máximo quando a2.c2 – c4 for máximo. Transformando isso numa função quadrática, fazemos x = c2 e achamos o valor máximo que é o vértice:
= a2.c2 – c4
= a2x – x2
Que tem valor mínimo para o x do vértice (lembre de -b/2a):
x = -(a2)/2.(-1)
x = a2/2
E como x = c2:
x = a2/2
c2 = a2/2
c = a/raiz(2)
Para acharmos o valor de b, usamos agora o teorema de Pitágoras de novo:
b2 + c2 = a2
b2 + [a/raiz(2)]2 = a2
b2 + a2/2 = a2
b2 = a2 – a2/2
b2 = a2/2
b = a/raiz(2)
Então vimos que r/h(a) terá valor mínimo quando b = c = a/raiz(2). Colocando na desigualdade:
r/h(a) = a/(a + b + c) > a/[a + a/raiz(2) + a/raiz(2)]
r/h(a) > a/[a + a/raiz(2) + a/raiz(2)]
r/h(a) > a/[a + 2a/raiz(2)]
r/h(a) > a/[a + 2a.raiz(2)/2]
r/h(a) > a/[a + a.raiz(2)]
r/h(a) > a/{a.[1 + raiz(2)]}
r/h(a) > 1/[1 + raiz(2)], racionalizando,
r/h(a) > [raiz(2) – 1]/(2 – 1)
r/h(a) > raiz(2) – 1
E como sabemos que raiz(2) é aproximadamente 1,414:
r/h(a) > raiz(2) – 1
r/h(a) > 1,414 – 1
r/h(a) > 0,414 > 0,4 = 2/5
E temos agora as duas partes da desigualdade que o problema pediu:
2/5 < r/h(a) < 1/2, como queríamos demonstrar.
*** Para achar que b = c = a/raiz(2), você poderia ter feito de outra forma também usando a desigualdade entre as médias geométrica e aritmética de “b” e “c”, que é a seguinte:
raiz(bc) <= (b + c)/2, com igualdade b = c.
Ou seja:
bc <= (b + c)2/4
(b + c)2 = a2 + 2bc <= a2 + (b + c)2/2
(b + c)2 <= 2a2
(b + c) <= a.raiz(2)
Agora pegamos o máximo da soma para achar os valores de b e c:
b + c = a.raiz(2)
b = a.raiz(2) – c
Como vimos que bc tem que ser máximo:
bc = [a.raiz(2) – c].c
bc = ac.raiz(2) – c2
bc = -c2 + a.raiz(2).c
Que tem valor máximo no vértice (-b/2a):
c = -[a.raiz(2)]/2.(-1)
c = -[a.raiz(2)]/(-2)
c = a.raiz(2)/2
Multiplicando o numerador e o denominador por raiz(2):
c = a.raiz(2)/2
c = a.2/2.raiz(2)
c = a/raiz(2)
E assim você acha o valor de b também:
b + c = a.raiz(2)
b + a/raiz(2) = a.raiz(2)
b = a.raiz(2) – a/raiz(2)
b = a.2/raiz(2) – a/raiz(2)
b = a/raiz(2)
E resumindo:
b = c = a/raiz(2)