8) Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA em que as vogais e as consoantes sempre fiquem alternadas?

Resolução:

Temos 5 vogais e 5 consoantes e elas devem ficar alternadas. Para alternar as vogais e consoantes temos duas disposições (onde tem C é consoante e onde tem V é vogal) possíveis:

VCVCVCVCVC

CVCVCVCVCV

Para cada uma delas temos que colocar as vogais no lugar dos V. Como temos 3 A, temos uma permutação de 5 elementos com repetição de 3:

P₅³ = 5!/3!

P₅³ = 5.4.3!/3!

P₅³ = 5.4

P₅³ = 20

E para as consoantes temos 2 vezes o M e duas vezes o T. Permutação de 5 elementos com repetições de 2 elementos duas vezes:

P₅^{2, 2} = 5!/2!.2!

P₅^{2, 2} = 5.4.3.2!/2!.2

P₅^{2, 2} = 5.4.3/2

P₅^{2, 2} = 5.2.3

P₅^{2, 2} = 30

E juntando as duas coisas:

= 20 . 30

= 600

Mas temos isso para cada uma das duas disposições, então temos que multiplicar por 2:

= 2 . 600

= 1200