[17.raiz(5) + 38]1/n + [17.raiz(5) – 38]1/n = raiz(20)
Resolução:
Primeiro, vendo que os dois radicandos eram parecidos fui ver o que acontecia ao multiplicá-los:
= [17.raiz(5) + 38].[17.raiz(5) – 38]
= 1
Então se fizermos:
a = 17.raiz(5) + 38
b = 17.raiz(5) – 38
Podemos dizer que:
ab = 1
a = 1/b
E nosso problema vira:
[17.raiz(5) + 38]1/n + [17.raiz(5) – 38]1/n = raiz(20)
a1/n + b1/n = raiz(20)
(1/b)1/n + b1/n = raiz(20)
1/(b1/n) + b1/n = raiz(20)
Tirando o mínimo e arrumando tudo teremos:
(b2)1/n – raiz(20).b1/n + 1 = 0
E chamando b1/n de x, temos:
x2 – raiz(20).x + 1 = 0
Resolvendo a equação:
x = raiz(5) +- 2
Como x era b1/n:
b1/n = raiz(5) +- 2
E colocando o valor de b:
[17.raiz(5) – 38]1/n = raiz(5) +- 2
Aqui você até pode usar logaritmo para achar o valor aproximado de n. Mas você pode ir elevando o segundo membro ao quadrado, ao cubo, à quarta, etc, para ver se o radicando do primeiro membro é uma potência do que tem no segundo membro e aí para igualar era só tirar a raiz com o índice da potência que encontrou. Foi o que eu fiz:
[raiz(5) +- 2]2 = 9 +- 4.raiz(5)
[raiz(5) +- 2]3 = 17.raiz(5) +- 38
E quando cheguei no cubo já deu certo! Então temos:
[17.raiz(5) – 38]1/n = raiz(5) +- 2
{[raiz(5) +- 2]3}1/n = raiz(5) +- 2
[raiz(5) +- 2]3/n = [raiz(5) +- 2]1
3/n = 1
n = 3