1) Determine o valor de x que satisfaz a equação:

{[5.raiz(2) + 7]^1/3}^x – {[5.raiz(2) – 7]^1/3}^x = 140.raiz(2)

Resolução:

Vamos fazer o seguinte:

a = 5.raix(2) + 7

b = 5.raiz(2) – 7

E veja que temos:

ab = 1

a = 1/b

E nosso problema fica:

(a^x)^1/3 – (b^x)^1/3 = 140.raiz(2)

[(1/b)^x]^1/3 – (b^x)^1/3 = 140.raiz(2)

[1/(b^x)]^1/3 – (b^x)^1/3 = 140.raiz(2)

Que tirando o mínimo e arrumando fica:

(b^2x)^1/3 + 140.raiz(2).(b^x)^1/3 – 1 = 0

Chamando (b^x)^1/3 de y, temos:

y² + 140.raiz(2).y – 1 = 0

E resolvendo essa equação você encontra:

y = -70.raiz(2) +- 99

Voltando o valor de y:

(b^x)^1/3 = -70.raiz(2) +- 99

b^x/3 = -70.raiz(2) +- 99

Voltando o valor de b:

[5.raiz(2) – 7]^x/3 = -70.raiz(2) +- 99

E temos que achar o expoente que devemos elevar b para ficar igual a -70.raiz(2) +- 99. Então vamos elevá-lo ao quadrado, depois ao cubo, até chegarmos onde precisamos. Isso não é a melhor técnica, mas não há outra maneira muito simples a não ser usando logaritmos e isso daria muito trabalho e precisaríamaos de valores de logaritmos. Então vamos de um em um que o problema geralmente é bonzinho com a gente:

[5.raiz(2) – 7]² = 99 – 70.raiz(2)

E já chegamos na resposta! Veja que precisamos elevar b ao quadrado para dar 99 – 70.raiz(2), que estávamos procurando. Mas como o expoente de b é x/3, isso tem que ser igual a 2:

x/3 = 2

x = 6