3) Provar que a área de um triangulo retângulo é igual ao produto dos raios das duas circunferências ex-inscritas que são tangentes aos catetos.

Resolução:

Circunferência ex-inscrita é a circunferência tangente a um dos lados e aos prolongamentos dos outros dois.

Podemos calcular os raios das circunferências ex-inscritas utilizando a fórmula da área do triângulo que usa o raio da circunferência ex-inscrita:

S = (p – b).r(b)

S = (p – c).r(c)

Onde p é o semi-perímetro, b e c os catetos, r(b) e r(c) os raios das circunferências ex-inscritas que tangenciam os catetos b e c, respectivamente.

Multiplicando as duas equações:

S² = (p – b).r(b).(p – c).r(c)

r(b).r(c) = S²/(p – b).(p – c)

r(b).r(c) = 4S²/(2p – 2b).(2p – 2c)

r(b).r(c) = 4S²/(a + b + c – 2b).(a + b + c – 2c)

r(b).r(c) = 4S²/(a – b + c).(a + b – c)

r(b).r(c) = 4S²/[a – (b – c)].[a + (b – c)]

r(b).r(c) = 4S²/[a² – (b – c)²]

r(b).r(c) = 4S²/[a² – (b² + c²) + 2bc]

Como o triângulo é retângulo, a² = b² + c²:

r(b).r(c) = 4S²/(a² – a² + 2bc)

r(b).r(c) = 4S²/2bc

No triângulo retângulo podemos calcular a área S = bc/2, então:

r(b).r(c) = 4S²/2bc

r(b).r(c) = 4S²/2.(2S)

r(b).r(c) = 4S²/4S

r(b).r(c) = S