Resolução:
Essa foi bem difícil. Eu queria poder resolver de outra maneira, mas isso foi o melhor que consegui.
Primeiro vamos pegar alguns números pequenos dessa forma, quero dizer, quando “m” é pequeno. Para “m” igual a 1 não teremos um número “b” que seja válido porque não teremos zeros entre o 1 e o 5 do número “b”. Então vamos começar com m = 2:
a = 11 (1 repetido “m” vezes)
b = 105 (“m – 1” zeros entre o 1 e o 5)
a.b + 1 =
= 1155 + 1
= 1156
Raiz(ab + 1) =
= Raiz(1156)
= 34
Agora para m = 3:
a = 111 (1 repetido “m” vezes)
b = 1005 (“m – 1” zeros entre o 1 e o 5)
a.b + 1 =
= 111555 + 1
= 111556
Raiz(ab + 1) =
= Raiz(111556)
= 334
Agora para m = 4:
a = 1111 (1 repetido “m” vezes)
b = 10005 (“m – 1” zeros entre o 1 e o 5)
a.b + 1 =
= 11115555 + 1
= 11115556
Raiz(ab + 1) =
= Raiz(11115556)
= 3334
E podemos ver que temos um padrão se repetindo, está sempre aumentando o número de “3” antes do número 4. Agora vamos fazer a multiplicação de 111…111 vezes 1000…0005:
1000…0005
x 111…111
________________
1000…0005
1000…0005
1000…0005
………………………………..
………………………………..
………………………………..
1000…0005
1000…0005
1000…0005
________________
111…1111555…5555
Como temos “m – 1” zeros entre o 1 e o 5, se contarmos o 5, teremos m digitos. Como a cada linha da multiplicação, o 5 fica uma casa para a esquerda e o número 111…111 tem m digitos, na última linha o 5 ficará na “m-ésima” casa. Então para todo 5 no final de cada linha, só haverá zeros acima dele. Na casa “m + 1” aparece o primeiro 1, e abaixo dele será tudo zero, assim como para os outros 1. Esse resultado é um número formado por “m” vezes 1 e “m” vezes 5.
Agora repare que isso é justamente o que estávamos vendo nos exemplos para m = 2, 3 e 4. Vamos provar então que sempre que tivermos um número do tipo 333…3334 ao quadrado, teremos esse número como resultado 111…111555…555, mais uma unidade. E além disso, teremos “m – 1” algarismos 3 para termos um resultado com “m” vezes o 1 e “m – 1” vezes o 5, e o último algarismo é 6. Vamos fazer a conta:
333…3334
x 333…3334
________________
1333…3336
1000…0002
1000…0002
………………………………..
………………………………..
………………………………..
1000…0002
1000…0002
1000…0002
________________
111…1111555…5556
Como o número tem “m” dígitos, o 1 da primeira linha só terá zeros abaixo dele, porque ele está na casa “m + 1” enquanto o dois da última linha está na casa “m”. E acima de todos os 2 teremos um número 3 da primeira linha! Além disso você pode ver que temos “m” vezes o dígito 1 e “m – 1” vezes o dígito 5 mais um dígito 6.
Bom, agora para somarmos os algarismos desse número, 333…3334, que é a raiz de ab + 1, teremos que fazer a soma de “m – 1” vezes o número 3 mais uma vez o número 4:
= (m – 1).3 + 4
= 3m – 3 + 4
= 3m – 3 + (3 + 1)
= 3m + 1