5) Lança-se um dado 8 vezes. Qual a probabilidade aproximada de sair exatamente 5 números iguais a 3?

Resolução:

Queremos que saia o 3 exatamente 5 vezes, isso quer dizer que as outras 3 vezes tem que sair um número diferente de 3. Temos que calcular três coisas:

i) o total de resultados ao jogarmos o dado 8 vezes;

ii) o número de maneiras de sair cinco vezes o 3 e mais três números diferentes;

iii) o número de maneiras de escolhermos os 5 dados que terão os números 3.

i) Como temos 8 dados e cada um tem 6 resultados possíveis, pelo princípio multiplicativo, temos um total de:

6.6.6.6.6.6.6.6 = 6⁸ resultados

ii) Escolha 5 dados qualquer para tirar 3 e outos 3 para sair outros números. De quantas maneiras podemos tirar 3 nesses 5 dados? Como temos 8 dados:

_ _ _ _ _ _ _ _

Vamos tirar 3 nos 5 primeiros. Então só temos uma opção para cada um deles:

1 1 1 1 1
_ _ _ _ _ _ _ _

E os últimos 3 dados temos 5 opções para cada, pois só não pode sair 3:

1 1 1 1 1 5 5 5
_ _ _ _ _ _ _ _

O que dá um total de 1.1.1.1.1.5.5.5 = 5³

iii) Não necessariamente precisa sair 3 nos 5 primeiros dados, podem sair nos 5 últimos, ou intercalado. De Quantas maneiras podemos escolher os cinco dados que sairão o número 3. Isso é o número de combinações de 8 elementos tomados 5 a 5:

C_{8, 5} = 8!/5!.3!

C_{8, 5} = 8.7.6.5!/5!.3!

C_{8, 5} = 8.7.6/3!

C_{8, 5} = 8.7.6/3.2

C_{8, 5} = 8.7.6/6

C_{8, 5} = 8.7

C_{8, 5} = 56 maneiras

Agora temos que para cada uma das 56 maneiras de escolhermos 5 dados, temos 5^3 maneiras de tirarmos cinco vezes o 3, o que dá um total de:

56.5³ maneiras de tirar cinco vezes o 3 em 8 dados.

Como queremos saber a probabilidade de que isso aconteça, temos que dividir esse total de casos favoráveis pelo total de casos possíveis:

Probabilidade = favoráveis/possíveis

Probabilidade = 56.5³ / 6⁸

Probabilidade = 7000 / 1679616

Probabilidade =~ 0,00417

Probabilidade =~ 0,417 %

Ainda pode calcular de outra maneira. Sabendo que a chance de sair 3 num dado é 1/6 e de não sair é 5/6. Precisamos que saia o número 3 cinco vezes e que saia outros números 3 vezes (para completar os 8 dados):

= (1/6)⁵.(5/6)³

Mas se escrevemos apenas isso, estamos considerando que queremos que o primeiro dado saia 3, o segundo também, até o quinto e os 3 últimos saiam 5. Mas isso pode sair em outra ordem, então precisamos calcular de quantas maneiras isso pode acontecer. São todas as maneiras de permutar esses 8 elementos, sendo que se trocamos dois dados que são iguais a 3 de ordem nada se altera. Isso é então uma permutação de 8 elementos com repetição de 3 e 5:

P₈^3,5= 8!/(5!.3!) = 56

Então temos 56 vezes a probabilidade acima:

= 56.(1/6)⁵.(5/6)³

= 56.5³/6⁸=~ 0,417 %