7) Calcule a quantidade de números ímpares, compreendidos entre 300 e 4.000 e com todos os algarismos distintos, que podemos formar com os dígitos 1, 3, 5, 6, 7 e 9?

Resolução:

Vamos separar primeiramente em dois casos: os números de 3 e os números de 4 algarismos.

a) números de 3 algarismos:

Como o primeiro algarismo não pode ser 1 (seria um número menor que 300), temos que separar em mais dois casos, os números que terminam com 1 e os que não terminam com 1.

a₁) terminam com 1:

Temos só uma opção para o último algarismo (só pode ser um). Como temos 6 algarismos para escolher e já colocamos o um, temos 5 opções para o primeiro algarismo. Para o segundo, como já colocamos dois, temos só 4 opções:

5 4 1

E a quantidade desses números é:

= 5.4.1

= 20

a₂) não terminam com 1:

Como o número deve ser ímpar, só temos 4 opções para o último algarismo (não pode ser 1). Como temos 6 algarismos para escolher e já colocamos o último algarismo e o primeiro não pode ser um, temos 4 opções para o primeiro algarismo. Para o segundo, como já colocamos dois e este só não pode ser igual aos dois que já foram, temos só 4 opções:

4 4 4

E a quantidade desses números é:

= 4.4.4

= 64

b) números de 4 algarismos:

Como o número deve ser menor que 4000, o primeiro algarismo só pode ser 1 ou 3, duas opções. Então como o número deve ser ímpar e já colocamos um algarismo ímpar na primeira posição, só temos 4 opções para o último algarismo. Como temos 6 algarismos para escolher e já colocamos dois algarismos, temos 4 opções para o segundo. Como já colocamos três, temos só 3 opções para o terceiro:

2 4 3 4

E a quantidade desses números é:

= 2.4.3.4

= 96

Agora temos que somar os três casos:

= 20 + 64 + 96

= 180