5) Calcule a quantidade de múltiplos de 3 de quatro algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 2, 3, 4, 6 e 9?

Resolução:

Para um número ser múltiplo de 3 a soma de seus algarismos deve ser igual a um múltiplo de 3. Foram dados 5 algarismos: 2, 3, 4, 6 e 9. A soma desses números todos é:

= 2 + 3 + 4 + 6 + 9

= 24

Como só vamos pegar 4 desses algarismos para formar os números, temos que tirar um número. Como a soma de todos eles deu um múltiplo de 3, ao tirarmos um algarismo, a soma só continuará sendo um múltiplo de 3 se o algarismo que tirarmos for um múltiplo de 3. Ou seja, só podemos excluir o 3, o 6 ou o 9. Então temos 3 casos em que podemos formar números de 4 algarismos:

2, 4, 6, 9 (soma = 21)

2, 3, 4, 9 (soma = 18)

2, 3, 4, 6 (soma = 15)

Em cada caso desse, teremos 4 algarismos cuja soma é um múltiplo de 3. Então podemos formar qualquer número com os 4 algarismos que ele será um múltiplo de 3, ou seja, para cada caso podemos fazer todas as permutações possíveis, que são permutações de 4 algarismos:

P₄ = 4! = 24

Então temos 3 possibilidades de permutações de 4 algarismos, dando um total de:

= 24 + 24 + 24

= 72 números