2) ABC é um triangulo de lados a, b, c, no qual a + c = 2b. Demonstrar que ac = 6Rr, onde r e R são os raios das circunferências inscrita e circunscrita ao triângulo.

Resolução:

Escreva a área do triângulo em função dos raios das circunferências inscrita e circunscrita:

– inscrita
A = p.r
onde p = (a + b + c)/2

– circunscrita
A = abc/4R

E igualando as duas:

pr = abc/4R

r.(a + b + c)/2 = abc/4R

Como a + c = 2b:

r.(a + b + c)/2 = abc/4R

r.(b + 2b)/2 = abc/4R

3r/2 = ac/4R

ac = 6Rr