1) São dados dois triângulos semelhantes T e T’, sendo S a área do primeiro e S’ a área do segundo. O lado L’, do triângulo T’, é igual ao segmento áureo do lado L, homólogo, do triângulo T. Determine a razão entre S e S’.

Resolução:

Em primeiro lugar, temos que saber que a razão áurea é igual a [raiz(5) -1]/2. Alem disso, quando dois triângulos são semelhantes, a razão

entre a área dos dois é igual ao quadrado da razão entre dois lados homólogos.

Então como o enunciado diz que o lado L’ é igual ao segmento áureo do lado L, isso quer dizer que:

L’ = L . [raiz(5) – 1]/2

Agora para sabermos a razão entre S e S’, faremos:

S/S’ = (L / L’)²

S/S’ = {L / (L . [raiz(5) – 1]/2)}², multiplicando pelo inverso da fração,

S/S’ = {L . (2 / L . [raiz(5) – 1])}²

S/S’ = {2 / [raiz(5) – 1]}²

S/S’ = 4 / [5 – 2.raiz(5) + 1]

S/S’ = 4 / [6 – 2.raiz(5)], simplificando,

S/S’ = 2 / [3 – raiz(5)], racionalizando,

S/S’ = 2.[3 + raiz(5)] / (9 – 5)

S/S’ = 2.[3 + raiz(5)] / 4

S/S’ = [3 + raiz(5)] / 2