3) ABC é um triangulo de lados a, b, c no qual o raio da circunferência ex-inscrita, tangente ao lado BC, é o dobro do raio da circunferência inscrita. Demonstrar a relação b + c = 3a.

Resolução:

Nesse exercício você pode escrever a área do triângulo em função dos raios das circunferências:

– inscrita:

A = p.r

onde p = (a + b + c)/2

– ex-inscrita:

A = R(a).(p – a)

onde R(a) é o raio da circunferência ex-inscrita tangente ao lado a.

Mas como esse raio vale o dobro do raio da circunferência inscrita:

A = 2r.(p – a)

E igualando as duas equações:

p.r = 2r.(p – a)

p = 2.(p – a)

2a = p

2a = (a + b + c)/2

3a = b + c