Resolução:
Sabemos que as áreas de um cilindro e de um cone de raio R na base e altura H é:
Cil = 2pi.R2 + 2pi.RH
Con = pi.R2 + pi.Rg
Como foi dado que a razão entre as áreas é de 7/4, temos:
Cil/Con = 7/4
(2pi.R2 + 2pi.RH)/(pi.R2 + pi.Rg) = 7/4
(2R + 2H)/(R + g) = 7/4
2.(R + H)/(R + g) = 7/4
R = 7g – 8h
Como queremos saber o ângulo entre o eixo do cone (que é a altura no centro da base superior do cilindro) e sua geratriz, podemos imaginar um triângulo retângulo formado pelo eixo do cone (cateto), o raio da circunferência da base (cateto) e a geratriz (hipotenusa). Assim, o ângulo entre a geratriz e o eixo é um ângulo desse triângulo. É o ângulo entre a hipotenusa (geratriz) e o cateto referente ao eixo do cone. Chamarei esse ângulo de x. Nesse triângulo, temos que:
sen x = R/g
cos x = h/g
Então se dividirmos nossa equação toda por g teremos:
R = 7g – 8h
R/g = 7 – 8h/g
sen x = 7 – 8cos x
Elevando ao quadrado:
sen2 x = 49 – 112cos x + 64cos2 x
Substituindo sen2 x = 1 – cos2 x e simplificando:
sen2 x = 49 – 112cos x + 64cos2 x
65cos2 x – 112 cos x + 48 = 0
Você pode resolver essa equação em cos x por Báskara, ou fatorar:
(13cos x – 12).(5cos x – 4) = 0
E assim:
cos x = 12/13
ou
cos x = 4/5
Como elevamos a equação ao quadrado, precisamos conferir as respostas porque pode ter aparecido coisas que não valem. Como cos x = 12/13, use a fórmula de Pitágoras para achar R e terá:
g = 13
H = 12
R = 5
Se você olhar em:
2.(R + H)/(R + g) = 7/4
(5 + 12)/(5 + 13) = 7/8
17/18 = 7/8
Então essa resposta não vale. Se fizer o mesmo com a outra resposta, cos x = 4/5, terá que:
g = 5
H = 4
R = 3
E será satisfeita a equação:
2.(R + H)/(R + g) = 7/4
(3 + 4)/(3 + 5) = 7/8
7/8 = 7/8
Então o cosseno do ângulo procurado vale 4/5. Como o problema pediu o ângulo você pode escrever que:
x = arccos 4/5
Se você tiver uma tabela ou uma calculadora que calcule isso verá que x é aproximadamente 36,77°.