2) 4 maçãs custam tanto quanto 5 ameixas. 3 peras custam tanto quanto 7 maçãs. 8 damascos tanto quanto 15 peras. Se 5 maçãs são vendidas por 2 cruzeiros, qual o menor número inteiro de cruzeiros que comprará um número igual de cada um dos 4 tipos de fruta?

Resolução:

A melhor maneira que achei de resolver esse problema foi calculando o preço de cada coisa primeiro, pra ver quantas frutas de cada eu preciso comprar para obter um preço que seja um número inteiro.

Sabe-se que 5 maçãs custam 2 cruzeiros, então uma maçã custa:
maçãs    cruzeiros
    5             2
    1             m

5m = 2
m = 2/5

Sabemos que “4 maçãs custam tanto quanto 5 ameixas”. Como 4 maçãs custam:
4m = 4.(2/5) = 8/5

5 ameixas também custam 8/5, e uma ameixa custa:
5a = 8/5
a = 8/25

Também temos “3 peras custam tanto quanto 7 maças”. Como 7 maçãs custam:
7m = 7.(2/5) = 14/5

3 peras também custam 14/5, então uma pera custa:
3p = 14/5
p = 14/15

E por fim, “8 damascos tanto quanto 15 peras”. Como 15 peras custam:
15p = 15.(14/15) = 14

8 damascos também custam 14 e assim 1 damasco custa:
8d = 14
d = 14/8
d = 7/4

Agora veja os preços das 4 frutas:
m = 2/5
a = 8/25
p = 14/15
d = 7/4

Para comprarmos dessas frutas e gastarmos um número inteiro de cruzeiros, temos que eliminar o denominador do preço da fruta. Ou seja, temos que comprar tantas frutas quanto é o valor do denominador do preço da fruta.

Para gastarmos um número inteiro com maçãs, temos que comprar 5 maçãs (2 cruzeiros). Para gastarmos um número inteiro com ameixas, temos que comprar 25 ameixas (8 cruzeiros). Para gastarmos um número inteiro com peras, temos que comprar 15 peras (14 cruzeiros). Para gastarmos um número inteiro com damascos, temos que comprar 4 damascos (7 cruzeiros).

Então, como queremos achar o menor número inteiro de cruzeiros que compraremos o mesmo número de todas as frutas, o número de maçãs tem que ser um múltiplo de 5, o de ameixas tem que ser múltiplo de 25, o número de peras tem que ser múltiplo de 15 e o número de damascos tem que ser múltiplo de 4, pois essas são as quantidades de cada fruta para se pagar um número inteiro de reais. O número de frutas de cada tipo será então o MMC (mínimo múltiplo comum) entre 5, 25, 15 e 4. Para isso, podemos fatorar todos os números e pegar todos os fatores que aparecem e com o maior expoente:
5 = 5
25 = 5²
15 = 3.5
4 = 2²

MMC(5, 25, 15, 4) = 2² . 3 . 5²
MMC(5, 25, 15, 4) = 4 . 3 . 25
MMC(5, 25, 15, 4) = 300

Então temos que comprar 300 frutas de cada tipo. Agora como queremos o menor inteiro de cruzeiros que compra essas frutas, temos que somar o que vamos gastar com todas as frutas:
300 maçãs = 300.(2/5) = 120 cruzeiros
300 ameixas = 300.(8/25) = 96 cruzeiros
300 peras = 300.(14/15) = 280 cruzeiros
300 damascos = 300.(7/4) = 525 cruzeiros

E o preço total será a soma:
120 + 96 + 280 + 525 = 1021 cruzeiros

Resposta: O menor inteiro é 1021.