Resolução:
Vamos nomear os compostos que não podem se misturar. Serão eles, A e B. Fora estes temos mais 8 que não têm nenhuma restrição. Então temos 3 possibilidades:
1) Associamos a substância A e mais 5 substâncias entre as outras 8.
2) Associamos a substância B e mais 5 substâncias entre as outras 8.
3) Associamos 6 das 8 substâncias sem problemas.
Então temos que ver quantas são as maneiras de associar as substâncias em cada uma das três possibilidades.
1) Associamos a substância A e mais 5 substâncias entre as outras 8.
Já temos a substância A e queremos escolher 5 entre as 8 restantes. Para isso temos que calcular o número de combinações de 8 elementos tomados 5 a 5, que pode ser obtido pela fórmula da combinação. A fórmula é:
C(n, p) = n!/[p!.(n – p)!], onde,
n = nº de elementos total
p = nº de elementos que queremos escolher
Então podemos calcular C(8, 5):
C(n, p) = n!/[p!.(n – p)!]
C(8, 5) = 8!/[5!.(8 – 5)!]
C(8, 5) = 8!/(5!.3!)
C(8, 5) = 8.7.6.5!/(5!.3!)
C(8, 5) = 8.7.6/3.2
C(8, 5) = 8.7.6/6
C(8, 5) = 8.7
C(8, 5) = 56
Então, com a substância A, como não podemos misturar a substância B, podemos formar 56 misturas de 6 compostos.
2) Associamos a substância B e mais 5 substâncias entre as outras 8. Já temos a substância B e queremos escolher 5 entre as 8 restantes. Para isso temos que calcular o número de combinações de 8 elementos tomados 5 a 5 novamente:
C(8, 5) = 56
Então, com a substância B, como não podemos misturar a substância A, podemos formar 56 misturas de 6 compostos.
3) Associamos 6 das 8 substâncias sem problemas. Agora precisamos calcular o número de subconjuntos de 6 elementos que podemos formar a partir do conjunto de 8 elementos. Isso é obtido pela fórmula da combinação de 8 elementos tomados 6 a 6:
C(n, p) = n!/[p!.(n – p)!]
C(8, 6) = 8!/[6!.(8 – 6)!]
C(8, 6) = 8!/(6!.2!)
C(8, 6) = 8.7.6!/(6!.2!)
C(8, 6) = 8.7/2
C(8, 6) = 4.7
C(8, 6) = 28
Então podemos formar 28 misturas de 6 elementos com os 8 elementos fora A e B.
Para saber o total de misturas temos que somar os itens 1), 2) e 3), que são todas as associações possíveis:
56 + 56 + 28 = 140