Resolução:
Se dividirmos p(x) por (x – 1), temos quociente q(x) e resto R e podemos escrever:
p(x) – R = q(x) . (x – 1) (i)
Fazendo x = 1 nesta expressão, como sabemos que p(1) = 4, temos:
p(1) – R = q(1).(1 – 1)
4 – R = q(1).0
4 – R = 0
R = 4
Agora sabemos que o quociente q(x) de (i) deixa resto 3 quando dividido por (x – 2). Supondo que temos um quociente q´(x) nessa divisão, então podemos escrever:
q(x) – 3 = q´(x) . (x – 2) (ii)
Agora queremos saber o resto da divisão de p(x) por (x – 1).(x – 2), então vamos multiplicar os dois membros de (ii) por (x – 1), porque ficaremos com q(x).(x – 1), que podemos passar para p(x) por (i):
q(x) – 3 = q´(x).(x – 2)
[q(x) – 3].(x – 1) = q´(x).(x – 2).(x – 1)
q(x).(x – 1) – 3x + 3 = q´(x).(x – 2).(x – 1)
Substituindo q(x).(x – 1) de (i):
q(x).(x – 1) – 3x + 3 = q´(x).(x – 2).(x – 1)
p(x) – R – 3x + 3 = q´(x).(x – 2).(x – 1)
Como R = 4:
p(x) – R – 3x + 3 = q´(x).(x – 2).(x – 1)
p(x) – 4 – 3x + 3 = q´(x).(x – 2).(x – 1)
p(x) – 3x – 1 = q´(x).(x – 2).(x – 1)
p(x) – (3x + 1) = q´(x).(x – 2).(x – 1) (iii)
E o que está escrito aí em (iii), é que se tirarmos (3x + 1) de p(x) ele será divisível por (x – 1).(x – 2), ou seja, se dividirmos p(x) por (x – 1).(x – 2), teremos resto (3x + 1).
Resposta: O resto da divisão de p(x) por (x – 1).(x – 2) é (3x + 1).