Resolução:
Se as raízes da equação são de sinais contrários, o produto delas será negativo. E sabemos que o produto das raízes de uma equação do segundo grau do tipo ax² + bx + c = 0 é c/a. Fazendo isso:
(-q + 1)/(q – 3) < 0
Agora para vermos quando esse quociente é menor que zero, temos que analisar os sinais do numerador e do denominador.
-q + 1 -> ++++++(1)—————–
q – 3 -> ——————-(3)++++++
E agora dividindo os sinais:
(-q + 1)/(q – 3) -> ——–(1)++++(3)——-
E temos dois intervalos possíveis para q:
q < 1 ou q > 3
A outra informação que o problema deu foi que a raiz de maior módulo é negativa, então a soma das raízes será negativa. Sabemos que a soma das raízes de uma equação do segundo grau é -b/a, então:
-(q – 2)/(q – 3) < 0
(2 – q)/(q – 3) < 0
Analisando os sinais de cada termo dessa fração teremos:
2 – q -> +++++(2)————–
q – 3 -> ————–(3)+++++
E fazendo o quociente:
(2 – q)/(q – 3) -> ——(2)+++(3)——
Então temos uma soma negativa das raízes se:
q < 2 ou q > 3
Além disso, o problema diz que as raízes têm que ser reais e distintas. Então o determinante tem que ser maior que zero. Então:
b² – 4ac > 0
(q – 2)² – 4.(q – 3).(-q + 1) > 0
q² – 4q + 4 – 4.(-q² + q + 3q – 3) > 0
q² – 4q + 4 + 4q² – 4q – 12q + 12 > 0
5q² – 20q + 16 > 0
Resolvendo essa inequação, encontramos as raízes da equação 5q² – 20q + 16 = 0, que são:
q1 = [10 – 2raiz(5)]/5
q2 = [10 + 2raiz(5)]/5
Como a função do segundo grau 5q² – 20q + 16 tem o coeficiente de x² maior que zero, seu gráfico é uma parábola com concavidade para cima, então teremos raízes reais quando:
q< [10 – 2raiz(5)]/5 ou q > [10 + 2raiz(5)]/5
Como a raiz de 5 é um número entre 2 e 2,5, temos que q1 é um número positivo e q2 é um número menor do que 3.
Agora juntando todas as informações sobre “q” que temos:
q < 1 ou q > 3
q < 2 ou q > 3
q< [10 – 2raiz(5)]/5 ou q > [10 + 2raiz(5)]/5
Qual o intervalo que satisfaz todas essas exigências? Vou colocar um asterisco onde temos uma resposta válida para cada intervalo, onde não tem ficará uma linha e faremos a intersecção de todos. Além disso, para facilitar, vou colocar q1 e q2 como sendo as raízes da última equação que encontramos (q1 = [10 – 2raiz(5)]/5, q2 = [10 + 2raiz(5)]/5):
***(1)__________(3)*******
*******(2)______(3)*******
****(q1)_____(q2)*******
Juntando tudo, vemos que temos asteriscos nos seguintes intervalos:
***(1)__________(3)*****
q < 1 ou q > 3
Resposta: S = {q pertence aos reais | q < 1 ou q > 3}