2) Qual o número de divisores positivos do número N = 91^5 + 5.91^4 + 10.91^3 + 10.91² + 5.91 + 1?

Resolução:

Nessa aqui você poderia saber que:

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10 a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

E aí você veria que se a = 91 e b = 1 teremos:

(91 + 1)⁵ = 91⁵ + 5.91⁴.1 + 10.91³.1² + 10.91².1³ + 5.91.1⁴ + 1⁵

(91 + 1)⁵ = N

Então queremos saber dos divisores positivos de:

N = 92⁵

N = (2².23)⁵

N = (2¹⁰).(23⁵)

E aí usamos o teorema do número de divisores, que diz que o número de divisores é o produto dos sucessores dos expoentes dos fatores primos do número:

número de divisores = (10 + 1).(5 + 1)

número de divisores = 66

Alternativa c) 66