Resolução:
Teremos um zero ao final desse número cada vez que tivermos um 10 multiplicando, ou ainda, quando tivermos um fator 2 e um fator 5. Mas nesse produto temos muitos fatores dois, pois todos os números pares têm pelo menos um fator dois na sua fatoração. Então, para sabermos quantos zeros teremos nesse produto basta contarmos quantos fatores iguais a 5 temos juntando os fatores de todos os números.
Quais são os números que têm 5 como fator primo em sua decomposição?
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35…
São todos os termos da PA de razão 5 e primeiro termo 5, entre o 5 e o 1000. Entretanto, alguns desses números têm mais de um 5 como fator primo. Os múltiplos de 25 têm 2 fatores primos. Os múltiplos de 125 têm 3 fatores primos. E o 625 tem 4 fatores primos. Teremos que contar então cada caso. Vamos começar pelos que têm mais, porque quando contarmos os múltiplos de 125 por exemplo, nele estaremos incluindo o 625 que já contamos antes.
I) 4 fatores 5
625
Só temos 1 número com quatro fatores 5.
Total = 1 número
II) 3 fatores 5 (múltiplos de 125)
125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 1000
Temos 8 números, mas temos que tirar o 625 que já entrou no primeiro caso.
Total = 7 números
III) 2 fatores 5 (múltiplos de 25)
Para facilitar, vamos contar quantos termos tem a PA de razão 25, de primeiro termo 25 e último termo 1000. Isso quer dizer que a1 = 25, r = 25 an = 1000:
an = a1 + (n – 1).r
1000 = 25 + (n – 1).25
1000 = 25 + 25n – 25
1000 = 25n
n = 40
Temos então 40 termos que são múltiplos de 25. Mas temos que tirar daí os múltiplos de 125 e o 625, que são 8.
Total = 32 números
IV) 1 fator 5 (múltiplos de 5)
Para facilitar, vamos contar quantos termos tem a PA de razão 5, de primeiro termo 5 e último termo 1000. Isso quer dizer que a1 = 5, r = 5 an = 1000:
an = a1 + (n – 1).r
1000 = 5 + (n – 1).5
1000 = 5 + 5n – 5
1000 = 5n
n = 200
Temos então 200 termos que são múltiplos de 5. Mas temos que tirar daí os múltiplos de 25, 125 e o 625, que são 40.
Total = 160 números
Agora vamos contar os fatores 5. como temos 160 múltipos de 5 (apenas um fator 5) teremos:
160 vezes o fator 5
Como temos 32 múltiplos de 25, eles nos dão:
32 . 2 = 64 fatores 5
Como temos 7 múltiplos de 125, eles nos dão:
7 . 3 = 21 fatores 5
Como temos 1 múltiplos de 625, ele nos dá:
4 fatores 5
Somando todos os casos:
160 + 64 + 21 + 4 = 249 fatores 5.
Então teremos 249 vezes o número 10 no desenvolvimento de 1000!.