a) 2a + mb b) 2b – ma c) m.(a – 2b) d) ma + 2b e) ma – 2b
Resolução:
Essa questão é muito difícil. É difícil de se enxergar logo qual é o caminho a se seguir para chegar na resposta.
Sabemos pelas fórmulas de soma e produto das raízes que a soma das raízes é igual a -b/a e o produto é igual a c/a, o que nos dá:
x + X = -(-2)/1 = 2
x + X = 2
x.X = m/1 = m
x.X = m
Além disso, foi dado que:
x(n – 2) + X(n – 2) = a
x(n – 1) + X(n – 1) = b
Que vou escrever de outra forma, para podermos visualizar melhor:
(xn)/x² + (Xn)/X² = a
(xn)/x + (Xn)/X = b
E queremos saber quanto vale: xn + Xn. Para isso, temos que ir fazendo algumas tentativaas, pois é difícil de se saber diretamente como vamos chegar a uma resposta. O que podemos ver é que se multiplicarmos “a” por (xX) ele ficará mais parecido com “b”, já que vamos precisar cancelar alguma coisa para sobrar apenas xn + Xn. Então vamos fazer isso, multiplicar “a” por xX:
(xn)/x² + (Xn)/X² = a
(xX).(xn)/x² + (xX).(Xn)/X² = (xX).a
X.(xn)/x + x.(Xn)/X = (xX).a
E vimos que xX, que é o produto das raízes, vale “m”. então, como xX = m:
X.(xn)/x + x.(Xn)/X = (xX).a
X.(xn)/x + x.(Xn)/X = am
Agora, se pegarmos “b” e multiplicarmos por “X”, teremos um termo exatamente igual a um termo em “am” [(X.xn)/x] e para termos o outro termo [(x.Xn)/X] teremos que multiplicar “b” por “x”. Então faremos isso, multiplicaremos “b” por “x” e por “X”, separadamente. Primeiro por “x”:
(xn)/x + (Xn)/X = b
x.(xn)/x + x.(Xn)/X = x.b
xn + x.(Xn)/X = x.b
E agora por “X”:
(xn)/x + (Xn)/X = b
X.(xn)/x + X.(Xn)/X = X.b
X.(xn)/x + Xn = X.b
E veja o que apareceu em cada uma dessas equações! Apareceu xn e Xn, justamente o que queremos. Agora temos que juntar essas três equações: “am”, “bx” e “bX”. Como estamos procurando xn e X^n, temos que fazer “bx” + “bX” – “am”:
= bx + bX – am
= xn + x.(Xn)/X + X.(xn)/x + Xn – X.(xn)/x – x.(Xn)/X
= xn + Xn
Portanto chegamos ao seguinte resultado:
bx + bX – am = xn + Xn
b.(x + X) – am = xn + Xn
E como vimos a soma das raízes é x + X = 2, podemos substituir:
b.(x + X) – am = xn + Xn
b.2 – am = xn + Xn
xn + Xn = b.2 – am
xn + Xn = 2b – ma
Resposta: Alternativa b) 2b – ma.