1) A diretoria de uma empresa compõe-se de n dirigentes, contando o presidente. Considere todas as comissões de três membros que poderiam ser formadas com esses n dirigentes. Se o número de comissões que incluem o presidente é igual ao número daquelas que não incluem, calcular o valor de n.

Resolução:

Para formarmos uma comissão de três pessoas em que o presidente seja uma delas, você terá que pegar o presidente e mais duas pessoas entre as restantes, que são “n – 1”. Ou seja, temos que calcular de quantas maneiras podemos escolher 2 das “n – 1” pessoas e isso é feito calculando o número de subconjuntos de 2 elementos de um conjunto de n – 1 elementos, que é a combinação de n – 1 elementos tomados 2 a 2:

C(n-1, 2) = (n – 1)! / 2!.(n – 1 – 2)!

C(n-1, 2) = (n – 1)! / 2!.(n – 3)!

Agora para formar uma comissão de 3 pessoas em que o presidente não participe temos que escolher 3 pessoas entre as restantes “n – 1” e isso é feito através da combinação de n – 1 elementos tomados 3 a 3:

C(n-1, 3) = (n – 1)! / 3!.(n – 1 – 3)!

C(n-1, 3) = (n – 1)! / 3!.(n – 4)!

E como o problema diz que o número dessas comissões é o mesmo:

(n – 1)! / 2!.(n – 3)! = (n – 1)! / 3!.(n – 4)!

(n – 1)! / 2.(n – 3)! = (n – 1)! / 3.2.(n – 4)!

(n – 1)! / (n – 3)! = (n – 1)! / 3.(n – 4)!

1 / (n – 3)! = 1 / 3.(n – 4)!

1 / (n – 3).(n – 4)! = 1 / 3.(n – 4)!

1 / (n – 3) = 1 / 3

1.3 = 1.(n – 3)

3 = n – 3

n = 6