Q(t) = V0.e0,1.t, em que t é o tempo, em anos, transcorrido desde o ano 2000, o número e = 2,718… é a base do sistema de logaritmos neperianos (ln) e V0 é a quantidade de madeira, em m3, existente no ano 2000. O valor total, P(t), em reais, arrecadado com a venda de madeira no ano t pode ser modelado pela função:
{ (20 – 0,8.t).V0.e0,1.t, se 0 <= t < 20,
P(t) = { 4.V0.e0,1.t, se20 <= t < 30,
{ 4.V0.e3, se t >= 30.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir:
I – Em um plano cartesiano (t por y), em que t = 0 corresponde ao ano 2000, o gráfico da função y = ln Q(t) é uma semi-reta partindo do ponto (0, ln V0).
II – Considerando que a fazenda vendeu tudo o que ofertou no ano 2000, conclui-se que, nesse ano, 1 m3 de eucalipto foi vendido por R$ 20,00.
III – P(10) / P(20) < 1
IV – Supondo que, no período de 2010 a 2030, o preço, em reais, de 1 m3 de eucalipto praticado pela fazenda fosse dado pela função P(t) = 8.e2-0,1.t, em que t é o tempo, em anos, transcorrido desde 2000, então conclui-se que, em 2020, a fazenda teria vendido apenas metade da sua oferta.
Estão certos apenas os itens:
a) I e III b) II e III c) II e IV d) I, II e IV e) I, III e IV
Resolução:
Vamos ver item por item:
I – Vamos ver o que seria a função y = ln Q(t), já que Q(t) = Vo.e0,1.t:
y = ln Q(t)
y = ln (V0.e0,1.t), usando as propriedades de logaritmos,
y = ln V0 + ln e0,1.t
y = ln V0 + 0,1.t.ln e, como ln e = 1,
y = ln V0 + 0,1.t
y = 0,1.t + ln V0
E realmente, no plano cartesiano, isso é uma reta (temos coeficiente angular 0,1 e coeficiente linear ln V0) pois ln V0 é uma constante, dado o V0. Além disso, quando t = 0, temos:
y = 0,1.t + ln V0
y = 0,1.0 + ln V0
y = ln V0
Então essa reta passa no ponto (t, y) = (0, ln V0). E como t só pode ser maior que zero, de acordo com o problema, então temos uma semi-reta partindo do ponto (0, ln V0).
Item correto!
II – Sabemos que o valor total arrecadado num ano é igual ao total de m3 vendido vezes o preço de cada m3. Vamos ver o valor total arrecadado no ano de 2000, de acordo com a função P(t) para 0 <= t < 20:
P(t) = (20 – 0,8.t).V0.e0,1.t
Como queremos no ano de 2000, faremos t = 0:
P(t) = (20 – 0,8.t).V0.e0,1.t
P(t) = (20 – 0,8.0).V0.e0,1.0
P(t) = (20 – 0).V0.e0
P(t) = 20.V0.1
P(t) = 20.V0
O total arrecadado em 2000, foi de 20 vezes o valor de V0 que era a quantidade de madeira existente em 2000. Supondo que a fazenda ofertou toda a quantidade existente, o custo de cada m3 só pode ser 20 reais, pois o total arrecadado foi de 20 vezes o total de madeira existente, ou ofertada.
Item correto! E Agora já sabemos qual a resposta correta, que só pode ser a letra d), pois não há outra alternativa com os itens I e II corretos. Mas vamos analisar os outros também.
III – Agora vamos ter que fazer essa divisão. Quando t = 10 usaremos a equação:
P(t) = (20 – 0,8.t).V0.e0,1.t
P(10) = (20 – 0,8.10).V0.e0,1.10
P(10) = (20 – 8).V0.e1
P(10) = 12.V0.e
E para t = 20, usaremos a equação:
P(t) = 4.V0.e0,1.t
P(20) = 4.V0.e0,1.20
P(20) = 4.V0.e2
Agora fazendo P(10)/P(20):
P(10)/P(20) =
= 12.V0.e / 4.V0.e2
= 3.V0.e / V0 .e2
= 3.e / e2
= 3 / e, e como e = 2,718…
= 3 / 2,718 > 1
Item errado!
IV – Para sabermos a oferta de madeira no ano 2020, usamos a função da quantidade de madeira Q(t):
Q(t) = V0.e0,1.t
Q(20) = V0.e0,1.20
Q(20) = V0.e2
Para sabermos o total arrecadado no ano de 2020, usamos a função P(t):
P(t) = 4.V0.e0,1.t
P(20) = 4.V0.e0,1.20
P(20) = 4.V0.e2
E agora para calcular o preço do m3, vamos usar a função P(t) dada acima:
P(t) = 8.e2 – 0,1.t
P(20) = 8.e2 – 0,1.20
P(20) = 8.e2-2
P(20) = 8.e0
P(20) = 8.1
P(20) = 8
Como o total arrecadado é sempre igual ao total vendido vezes o preço do m3, podemos calcular o total vendido:
total arrecadado = vendido . preço
4.Vo.e2 = vendido . 8
4.Vo.e2 / 8 = vendido
vendido = V0.e2 / 2
Como a quantidade de madeira em 2020, como calculamos, era de V0.e2 e só foi vendido V0.e2 / 2, concluímos que só foi vendido metade do total de madeira disponível.
Item correto!
Resposta: Alternativa d) I, II e IV