Resolução:
Veja o seguinte, como queremos apenas soluções inteiras, x e y só podem ser inteiros. Como temos 15x + 20y, você pode ver que 15x, sendo x um número inteiro, terá como resultado um número que só pode ter 0 ou 5 como algarismo das unidades. Já 20y, sendo y um número inteiro, só poderá ter 0 como algarismo das unidades no resultado.
Então estamos somando um número (15x) cujo algarismo das unidades é 0 ou 5, com um número (20y) cujo algarismo das unidades é 0. Isso quer dizer que o resultado (15x + 20y) só poder ter como algarismo das unidades 0 ou 5, nunca será 2 como é o resultado pretendido.
Portanto não há soluções inteiras para essa equação.
Outra maneira de ver é colocando o 5 em evidência no primeiro membro:
15x + 20y = 12
5.(3x + 4y) = 12
Aí você vê que estamos dizendo que 12 pode ser igual a um número inteiro (3x + 4y) multiplicado por 5. Mas isso é um absurdo porque 12 não é múltiplo de 5!