a) 11 b) 14 c) 15 d) 18 e) 25
Resolução:
Em primeiro lugar, vamos convencionar o seguinte:
(A U B) = A união com B
(A ∩ B) = A intersecção com B
n(A) = número de elementos de A
Para resolver esse exercício você deve saber que:
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Como temos que encontrar o valor de n(A) + n(B) + n(C), podemos usar a fórmula acima, colocando os valores que foram dados:
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
11 = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + 2
Mas precisamos descobrir os valores de n(A ∩ B), n(A ∩ C) e n(B ∩ C). Então vamos usar o seguinte:
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
8 = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) (i)
n(A U C) = n(A) + n(C) – n(A ∩ C)
9 = n(A) + n(C) – n(A ∩ C) (ii)
n(B U C) = n(B) + n(C) – n(B ∩ C)
10 = n(B) + n(C) – n(B ∩ C) (iii)
E se somarmos as três equações (i), (ii) e (iii), temos:
8 + 9 + 10 = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) + n(A) + n(C) – n(A ∩ C) + n(B) + n(C) – n(B ∩ C)
27 = 2.n(A) + 2.n(B) + 2.n(C) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) – n(A ∩ B)
27 – 2.n(A) – 2.n(B) – 2.n(C) = – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) – n(A ∩ B)
E veja que o segundo membro é justamente o que estávamos procurando, então vamos colocar isso na equação que estávamos trabalhando:
11 = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + 2
11 = n(A) + n(B) + n(C) + 27 – 2.n(A) – 2.n(B) – 2.n(C) + 2
11 = n(A) + n(B) + n(C) + 29 – 2.n(A) – 2.n(B) – 2.n(C)
11 = – n(A) – n(B) – n(C) + 29
n(A) + n(B) + n(C) = 29 – 11
n(A) + n(B) + n(C) = 18