Resolução:
Para não termos duas vogais juntas, temos que ter consoantes entre elas assim:
VCVCV
Então só temos que colocar as outras 2 consoantes. Vou representar por um traço essas 5 letras que têm que ficar assim VCVCV e colocar as outras consoantes. Temos essas disposições:
CC_
C_C
_CC
Mas ainda podemos colocar consoantes entre as 5 letras assim:
CVCCVCV
CVCVCCV
VCCVCCV
VCCVCVC
VCVCCVC
VCCCVCV
VCVCCCV
Então temos um total de 10 disposições e agora temos que colocar as letras. As consoantes podem entrar de qualquer maneira porque não tem repetição, são permutações de 4 elementos. Já as vogais têm repetição. Só tem uma letra E, então só temos 3 ordens para as vogais:
AAE
AEA
EAA
Então agora vejamos: temos 10 disposições, para cada uma temos 3 maneiras de colocarmos as vogais e podemos colocar as consoantes de 24 maneiras (permutação de 4 elementos), então temos um total de:
= 10 . 3 . 24
= 720