2) Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) (1/4)^x-1 = 2
b) (0,5)^2x-x² = 8
c) (1/5)^3x+1 =(1/125)^2x 
d) 9^x – 4.3^x – 45 = 0

Resolução:

Para resolvermos as equações exponenciais, geralmente o mais simples é colocarmos os dois membros sob uma mesma base, pois aí os expoentes terão que ser iguais.

a) (1/4)^x-1 = 2

Como 1/4 é igual a 2^-2, temos:

(1/4)^x-1 = 2

(2^-2)^x-1 = 2, multiplica os expoentes,

2^-2x+2 = 2

2^-2x+2 = 2¹, os expoentes têm que ser iguais,

-2x + 2 = 1

-2x = -1

x = 1/2

b) (0,5)^2x-x² = 8

Como 0,5 = 1/2 que é igual a 2^-1 e 8 = 2³, temos:

(0,5)^2x-x² = 8

(2^-1)^2x-x² = 8, multiplicando os expoentes,

2^-2x+x² = 8

2^-2x+x² = 2³, os expoentes têm que ser iguais,

-2x + x² = 3

x² – 2x – 3 = 0

(x – 3).(x + 1) = 0

x = 3 ou x = -1

c) (1/5)^3x+1 = (1/125)^2x 

Como 1/125 = (1/5)³, temos:

(1/5)^3x+1 = (1/125)^2x 

(1/5)^3x+1 = [(1/5)³]^2x, multiplicando os expoentes,

(1/5)^3x+1 = (1/5)^6x, os expoentes têm que ser iguais,

3x + 1 = 6x

-3x = -1

x = 1/3

d) 9^x – 4.3^x – 45 = 0

(3²)^x – 4.3^x – 45 = 0, multiplicando os expoentes,

3^2x – 4.3^x – 45 = 0

Nesse caso, como temos algo que não está elevado a x, faremos o seguinte, chamaremos 3^x de y, o que significa que 3^2x é igual a y²:

y = 3^x

y² = (3^x)², multiplica os expoentes,

y² = 3^2x

Então, vamos substituir y na equação:

3^2x – 4.3^x – 45 = 0

y² – 4y – 45 = 0

(y – 9).(y + 5) = 0

y = 9 ou y = -5

Só que não estamos procurando y, estamos procurando x, então como y = 3^x, temos duas opções:

y = 9

3^x = 9

3^x = 3²

x = 2

Ou então:

y = -5

3^x = -5

E isso não tem solução, porque um número positivo elevado a qualquer número, nunca será um número negativo.

Resposta: x = 2