3) A função f, de R em R, definida por f(x) = ax² + bx + c, admite duas raízes reais iguais. Se a > 0 e a sequência (a, b, c) é uma progressão aritmética de razão raiz(3), então o gráfico de f corta o eixo das ordenadas em que ponto?

Resolução:

Se a função f(x) = ax² + bx + c admite duas raízes reais iguais, seu determinante é igual a zero. Então vamos calcular seu determinante:

D = b² – 4ac

b² – 4ac = 0 (i)

E se a sequência (a, b, c) é uma PA de razão raiz(3), podemos escrever os 3 termos da PA em função de b, para facilitar. Como numa PA um termo é sempre o anterior mais a razão, isso quer dizer que o termo anterior é o termo menos a razão:

= (a, b, c)

= (a, b, b + raiz(3))

= (b – raiz(3), b, b + raiz(3))

Portanto:

a = b – raiz(3)

c = b + raiz(3)

E podemos colocar isso na equação (i) que tínhamos:

b² – 4ac = 0

b² – 4.[b – raiz(3)].[b + raiz(3)] = 0

b² – 4.[b² – raiz(3)²] = 0

b² – 4.(b² – 3) = 0

b² – 4b² + 12 = 0

-3b² + 12 = 0

12 = 3b²

4 = b²

b = +-2

Como o problema diz que “a” é maior que zero, b só pode ser igual a 2 (se fosse -2 “a” seria negativo).

O ponto onde o gráfico corta o eixo das ordenadas, que é o eixo vertical, é o valor que a função assume quando x = 0, pois ali os eixos se cruzam. Mas quando x = 0, temos:

f(x) = ax² + bx + c 

f(0) = a.0² + b.0 + c 

f(0) = c

Então temos que achar o valor de c. Como temos o valor de b:

c = b + raiz(3)

c = 2 + raiz(3)

Resposta: O gráfico de f(x) corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 2 + raiz(3))

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