a) 51 b) 52 c) 53 d) 54 e) 55
Resolução:
Nessa pergunta, vamos usar mais a lógica do que cálculos. Pensei o seguinte, qual a maior soma que podemos encontrar com três números? Será quando os três forem iguais a 9 e teremos 9 + 9 + 9 = 27.
E qual a soma mínima, será no número 100, cuja soma dos algarismos é 1 + 0 + 0 = 1. Não tem soma menor que 1 e nem maior que 27.
Mas só tem um número que dá soma igual a 1 e só um número que dá soma igual a 27, que são 100 e 999. Qualquer outro número entre 100 e 999, terá a soma dos algarismos entre 2 e 26, inclusive. Como temos que encontrar 3 destas somas iguais, temos que ver se há pelo menos 3 de cada total. Já vimos que 1 e 27 só aparecem uma vez. Agora será que temos 3 vezes pelo menos o total 2?
101, 110, 200
Todos têm a soma dos algarismos igual a 2. Já 26, temos: 989, 998, 899. Também tem 3! E qualquer outro total que quiser terá pelo menos 3.
Então na pior das hipóteses, podemos pegar 27 cartões da caixa e nenhum terá a mesma soma. Depois começará a repetir, mas não haverá mais a soma 1 e nem a soma 27, então só pegaremos mais 25 cartões diferentes. Então teremos um cartão com soma 1, um cartão com soma 27 e dois cartões com cada um dos outros totais entre 2 e 26. Agora o próximo cartão terá como total algum número que já saiu duas vezes!
Então podemos pegar 27 cartões, mais 25 cartões e mais um cartão que com certeza teremos 3 cartões com a mesma soma:
27 + 25 + 1 = 53
Pode ser que isso aconteça antes, é até muito provável, mas para ter certeza mesmo, com 53 cartões não tem erro.
Resposta: c) 53.