a) pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano.
b) pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana.
c) se uma pessoa conhece as demais então existem pelo menos duas com o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco).
d) se uma pessoa não conhece ninguém então pode não existir duas pessoas com o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco).
e) a diferença de idade “em anos ” de duas delas é um múltiplo de 14.
Resolução:
Vamos analisar as 5 alternativas:
a) pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano.
Se cada uma fizesse aniversário em um mês diferente, poderíamos ter no máximo doze meses diferentes, como são 15 pessoas, pelo menos 3 vão ter que repetir meses de aniversário.
Essa afirmação é verdadeira.
b) pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana.
Se cada pessoa fizesse aniversário em um dia diferente da semana, teríamos 2 pessoas para cada dia, dando um total de 14 pessoas, como são 15 pessoas a décima quinta repetirá pela 3ª vez um dos dias da semana.
Essa afirmação é verdadeira.
c) se uma pessoa conhece as demais então existem pelo menos duas com o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco).
Se uma pessoa conhece as demais, ela conhece 14 pessoas. As outras pessoas podem conhecer de 1 a 14 pessoas, já que conhecem pelo menos aquele que conhece todas. Digamos que cada uma conheça um número diferente de pessoas, como só temos 14 possibilidades, cada uma conheceria 1, 2, 3, 4… até 14 pessoas. Mas a primeira pessoa já conhecia 14 pessoas, então temos duas pessoas com o mesmo número de conhecidos. E se a última pessoa não conhecer 14 pessoas, ela terá que conhecer um número menor, que já existe alguém que conhece o mesmo número de pessoas.
Essa afirmação é verdadeira.
d) se uma pessoa não conhece ninguém então pode não existir duas pessoas com o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco).
Se uma pessoa não conhece ninguém, as outras 14 pessoas podem conhecer de 0 a 13 pessoas. E novamente pelo menos duas pessoas terão o mesmo número de conhecidos. Se cada um conhece um número diferente de pessoas, digamos que nessa ordem 0, 1, 2, 3, … até 13, só temos 14 possibilidades para 14 pessoas, mas já temos uma pessoa que não conhece ninguém.
Essa afirmação é FALSA.
e) a diferença de idade “em anos ” de duas delas é um múltiplo de 14.
Se você tem 15 pessoas diferentes você pode ter duas pessoas com a mesma idade, o que dá a diferença zero, que é um múltiplo de 14. Ou então você não tem ninguém com a mesma idade, nesse caso você terá inevitávelmente dois números que são múltiplos de 14. Se você escolher 14 números diferentes, você pode ter apenas um múltiplo de 14, mas se escolher mais um número, como você já escolheu 14 números que divididos por 14 deixam resto 0, 1, 2, … ou 13 esse décimo quinto número também terá o mesmo resto que um destes números, pois são todas as possibilidades. E dois númeos que divididos por 14 deixam o mesmo resto, têm como diferença um múltiplo de 14. Veja por exemplo os números x e y que divididos por 14 deixam resto “r”:
x = 14.a + r
y = 14.b + r
Ao fazermos a diferença, temos:
x – y = 14a – 14b
x – y = 14.(a – b)
Que é um múltiplo de 14.
Essa afirmação é verdadeira.
Resposta: Alternativa d).