Resolução:
Para resolver essa equação você tem que ir separando os casos em que o que está dentro do módulo é positivo e quando o que está dentro do módulo é negativo.
Começando com o módulo mais interno, como temos x + 2 dentro dele, se x for = -2, o que está no módulo é positivo (ou zero) e deixamos o sinal assim mesmo. Vamos ao primeiro caso:
(i) x < -2
||x + 2| – 5| = 4
|-x – 2 – 5| = 4
|-x – 7| = 4
Agora temos outro módulo. Nesse módulo, quando x -7 o que está no módulo é negativo e temos que trocar o sinal. Então agora temos 2 subcasos, quando x <= -7 e quando -7 < x < -2, pois estamos dentro do caso que x < -2:
(i.a) x <= -7
|-x – 7| = 4
-x – 7 = 4
-x = 11
x = -11
(i.b) -7 < x < -2
|-x – 7| = 4
x + 7 = 4
x = -3
Agora vamos ao segundo caso, quando x >= -2:
(ii) x >= -2
||x + 2| – 5| = 4
|x + 2 – 5| = 4
|x – 3| = 4
Agora temos outro módulo. Nesse módulo, quando x >= 3 o que está dentro dele será positivo e quando x = 3 e quando -2 <= x = -2:
(ii.a) x >= 3
|x – 3| = 4
x – 3 = 4
x = 7
(ii.b) -2 <= x < 3
|x – 3| = 4
-x + 3 = 4
-x = 1
x = -1
Resposta: S = {-11, -3, -1, 7}