Resolução:
Primeiro vamos discutir a existência das raízes que é primordial, pois não adianta falarmos do sinal das raízes se nem existirem raízes reais. Para existirem raízes reais numa equação do segundo grau, o determinante deve ser maior ou igual a zero. Então vamos fazer isso:
D >= 0
[-2.(m + 4)]² – 4.(2m – 1).(5m + 2) >= 0
4.(m + 4)² – 4.(10m² – m – 2) >= 0
4.(m² + 8m + 16) – 40m² + 4m + 8 >= 0
4m² + 32m + 64 – 40m² + 4m + 8 >= 0
-36m² + 36m + 72 >= 0
36m² – 36m – 72 <= 0
36.(m² – m – 2) <= 0
36.(m – 2).(m + 1) <= 0
Quando é que 36m² – 36m – 72 é menor ou igual a zero? O gráfico dessa função é uma parábola com concavidade para cima e com raízes iguais a -1 e 2, então teremos valores menores que zero para os pontos entre as raízes:
-1 <= m <= 2
Isso quer dizer que a equação só tem solução real para “m” nesse intervalo. Agora vamos analisar os sinais das raízes. Existe uma fórmula para calcular a soma e outra para o produto das raízes. Agora veja o que pode acontecer:
i) produto das raízes > 0
soma das raízes > 0
Nesse caso as duas raízes são positivas
ii) produto das raízes > 0
soma das raízes < 0
Nesse caso as duas raízes são negativas
iii) produto das raízes < 0
soma das raízes < 0
Nesse caso as duas raízes são de sinais contrários e a de maior módulo é negativa.
iv) produto das raízes < 0
soma das raízes > 0
Nesse caso as duas raízes são de sinais contrários e a de maior módulo é positiva.
Então vamos analisar o sinal do produto e da soma das raízes. O produto das raízes é dado pela fórmula c/a e a soma é -b/a.
Produto:
= c/a
= (5m + 2)/(2m – 1)
Para saber o sinal desse quociente temos que ver os sinais do numerador e do denominador. Cada um deles é uma reta e as duas retas são crescentes. Cada reta cruza o eixo x num ponto onde seu valor é zero.
5m + 2 = 0
m = -2/5
Então o sinal dessa reta se comporta assim:
——–(-2/5)++++++++
2m – 1 = 0
m = 1/2
Então o sinal dessa reta se comporta assim:
——–(1/2)++++++++
E juntando as duas:
—(-2/5)+++++++++++++
—————(1/2)+++++
=======================
++++(-2/5)—(1/2)+++++
Então podemos concluir que o produto das raízes é positivo quando:
m 1/2
E o produto é negativo quando:
-2/5 < m < 1/2
Agora vamos à soma das raízes.
= -b/a
= -[-2.(m + 4)]/(2m – 1)
= 2.(m + 4)/(2m – 1)
= (2m + 8)/(2m – 1)
Da mesma forma vamos analisar os sinais das duas retas crescentes que formam essa fração:
2m + 8 = 0
m = -4
Então o sinal dessa reta se comporta assim:
——–(-4)++++++++
2m – 1 = 0
m = 1/2
Então o sinal dessa reta se comporta assim:
——–(1/2)++++++++
E juntando as duas:
—(-4)+++++++++++++
————-(1/2)+++++
=======================
++++(-4)—(1/2)+++++
Então podemos concluir que a soma das raízes é positiva quando:
m 1/2
E a soma é negativa quando:
-4 < m < 1/2
Veja que nos dois casos temos que m deve ser diferente de 1/2 para não termos zero como denominador.
Agora juntando o resultado da soma com o resultado do
produto, podemos ver o que acontece:
Produto = ++++++++(-2/5)—(1/2)+++
Soma = +++(-4)————-(1/2)+++
Antes de concluirmos podemos primeiro limitar nosso resultado apenas aos valores de m que fazem com que a equação tem solução, que é apenas entre -1 e 2:
Produto = ++++++++(-2/5)—(1/2)+++
Soma = +++(-4)—————(1/2)+++
Limitando ao intervalo [-1, 2]:
-1*****************2
Produto = +++(-2/5)—(1/2)+++
Soma = ————–(1/2)+++
Então vamos analisar cada parte para obtermos a resposta.
Resposta:
-1 <= m < -2/5
produto > 0 e soma < 0, portanto:
Nesse caso as duas raízes são negativas.
Se m = -2/5, teremos uma raiz igual a zero, pois o produto é zero.
-2/5 < m < 1/2
produto < 0 e soma < 0, portanto:
Nesse caso as duas raízes são de sinais contrários e a de maior módulo é negativa.
1/2 < m <= 2
produto > 0 e soma > 0, portanto:
Nesse caso as duas raízes são positivas.