logab = 4, logqb = 2, logcb = 0,01
Quantos termos tem essa progressão geométrica?
Resolução:
Temos o seguinte:
I – primeiro termo = a
II – razão = q > 1
III – produto dos termos = c
IV – logab = 4
V – logqb = 2
VI – logcb = 0,01
Sabe-se que a fórmula do produto Pn dos “n” primeiros termos de uma PG é:
(Pn)² = (A1 . An)n
onde A1 é o 1º termo e An é o enésimo termo.
Então, de III temos:
c² = (A1 . An)n
c² = (a . An)n
O termo geral da PG é An = A1 . qn, que no nosso caso pode ser escrito:
An = a.qn-1
E daí, substituindo An na fórmula de c²:
c² = (a . An)n
c² = (a . a . qn)n
c² = (a² . qn-1)n
Mas, de IV, temos que: a⁴ = b
De V, temos que: q² = b
O que nos leva a concluir que a⁴ = q² -> a² = q (lembre que q > 1)
Substituindo na fórmula de c²:
c² = (a² . qn-1)n
c² = [a² . (a²)n-1]n
c² = (a² . a2n-2)n
c² = (a2n-2+2)n
c² = (a2n)n
c² = a2n²
E podemos achar c a partir de VI: c0,01 = b
E como já vimos que b = a⁴:
c0,01 = a⁴, elevando tudo a 100,
c = a400
Substituindo na fórmula de c²:
c² = a2n²
(a400)² = a2n²
a800 = a2n²
Então, para isso ser verdadeiro, teremos que ter obrigatoriamente:
800 = 2n²
800 / 2 = n²
400 = n²
n = 20