Resolução:
Como todas as fichas, exceto a primeira e a última, são a média aritmética da anterior com a posterior, podemos pegar 3 fichas consecutivas quaisquer, digamos, x, y e z. Como y é a média de x e z, podemos escrever:
(x + z)/2 = y
x + z = 2y
x + z = y + y
z = y + y – x
z – y = y – x
Isso quer dizer que para quaisquer fichas dessa sequência, a diferença entre o valor de uma pela sua anterior é igual à diferença da anterior pela anterior dela. Que é o mesmo que dizer que a diferença entre duas fichas consecutivas é sempre a mesma. Então essas fichas tem que estar numa PA! Em qualquer PA, a diferença entre dois termos consecutivos é constante, e é igual à razão da PA.
Consideramos então as fichas como termos de uma PA. Foram dados os termos a16 = 103 e a31 = 58, e queremos saber qual o valor de a50.
Com as duas fichas dadas podemos encontrar a razão, pois do a16 até o a31 temos que somar a razão (r) 15 vezes, então:
a31 = a16 + 15.r
58 = 103 + 15.r
-15.r = 103 – 58
-15.r = 45
r = 45/(-15)
r = -3
E sabemos que do a31 para o a50 temos que somar a razão 19 vezes, então podemos escrever:
a50 = a31 + 19.r
a50 = 58 + 19.(-3)
a50 = 58 + (-57)
a50 = 58 – 57
a50 = 1
Resposta: O valor da última ficha é 1.