2) Um mágico apresentou 50 fichas cada uma com um número. Pediu a uma pessoa que ordenasse-as de modo que o número de cada uma, exceto a primeira e a última, fosse a média aritmética da anterior com a posterior. Então pediu qual era a 16ª e a 31ª ficha, obtendo como respostas 103 e 58. A partir disso disse o valor da última ficha. Qual é esse valor?

Resolução:

Como todas as fichas, exceto a primeira e a última, são a média aritmética da anterior com a posterior, podemos pegar 3 fichas consecutivas quaisquer, digamos, x, y e z. Como y é a média de x e z, podemos escrever:

(x + z)/2 = y

x + z = 2y

x + z = y + y

z = y + y – x

z – y = y – x

Isso quer dizer que para quaisquer fichas dessa sequência, a diferença entre o valor de uma pela sua anterior é igual à diferença da anterior pela anterior dela. Que é o mesmo que dizer que a diferença entre duas fichas consecutivas é sempre a mesma. Então essas fichas tem que estar numa PA! Em qualquer PA, a diferença entre dois termos consecutivos é constante, e é igual à razão da PA.

Consideramos então as fichas como termos de uma PA. Foram dados os termos a16 = 103 e a31 = 58, e queremos saber qual o valor de a50.

Com as duas fichas dadas podemos encontrar a razão, pois do a16 até o a31 temos que somar a razão (r) 15 vezes, então:

a31 = a16 + 15.r

58 = 103 + 15.r

-15.r = 103 – 58

-15.r = 45

r = 45/(-15)

r = -3

E sabemos que do a31 para o a50 temos que somar a razão 19 vezes, então podemos escrever:

a50 = a31 + 19.r

a50 = 58 + 19.(-3)

a50 = 58 + (-57)

a50 = 58 – 57

a50 = 1

Resposta: O valor da última ficha é 1.

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