Resolução:
Esta questão caiu na Fuvest (11ª questão de matemática no ano de 1996). Ela é bem teórica, por isso é considerada mais difícil, mas vou tentar ser o mais claro possível.
Primeiro foi dito: “Seja p(x) um polinômio divisível por x-3.” Se um polinômio é divisível por (x – 3), ele pode ser escrito da seguinte forma:
p(x) = p´(x).(x – 3), onde p´(x) é o quociente da divisão de p(x) por (x – 3)
ou ainda, fazendo a distributiva,
p(x) = p´(x).(x – 3) = x.p´(x) – 3.p´(x)
Depois foi dito: “Dividindo p(x) por x-1, obtemos quociente q(x) e resto r = 10”. Que pode ser escrito da seguinte forma:
p(x) = q(x).(x – 1) + 10
ou ainda,
p(x) – 10 = q(x).(x – 1)
O que significa que se tirarmos 10 de p(x), e dividirmos por (x – 1), teremos quociente q(x) e resto igual a zero. Então vamos pegar p(x), em função de p´(x), tirar 10 e dividí-lo por (x – 1), e o quociente dessa divisão será q(x) e o resto zero:
x.p´(x) – 3.p´(x) – 10 | x – 1
———-
Dividindo x.p´(x) por x, temos no quociente p´(x):
x.p´(x) – 3.p´(x) – 10 | x – 1
-x.p´(x) + p´(x) ———
—————- p´(x)
0 -2.p´(x) – 10
Como o resto tem que ser zero:
– 2.p´(x) – 10 = 0
– 2.p´(x) = 10
p´(x) = 10 / (-2)
p´(x) = – 5
Então p´(x) tem que ser -5. Se p´(x) é -5, e o quociente dessa divisão era q(x), concluímos que q(x) também tem que ser -5. E a pergunta era o resto da divisão de q(x) por x – 3. Fazendo a divisão:
q(x) | x – 3
——-
ou seja,
-5 | x – 3
0 ——
— 0
-5
O quociente dá zero e sobra -5!
(Se você quiser, ache p(x), p´(x) e faça as contas que verá esse resultado também.
p(x) = p´(x).(x – 3), como p´(x) = -5
p(x) = -5x + 15
Dividindo p(x) por x – 1, temos resto 10 e q(x) é -5)
Resposta: O resto da divisão de q(x) por (x – 3) é -5.