a) Prove que, se f é ímpar e 0 pertence ao seu domínio, então f(0) = 0.
b) Prove que, se f é par e ímpar, então f(x) = 0.
Resolução:
a) Prove que, se f é ímpar e 0 pertence ao seu domínio, então f(0) = 0.
Nesses exercícios você precisa lembrar que na verdade, f(0) é um número real. Ao substituir x por zero na função, você obterá o valor daquela função quando x = 0, então pode tratar f(0) como sendo um número.
Se temos uma função f ímpar, então ela satisfaz f(-x) = -f(x), pela definição. Se substituirmos x por zero teremos:
f(-x) = -f(x)
f(-0) = -f(0)
f(0) = -f(0)
f(0) + f(0) = 0
2.f(0) = 0
f(0) = 0/2
f(0) = 0
b) Prove que, se f é par e ímpar, então f(x) = 0.
Da mesma maneira, vamos usar as definições de função par e função ímpar. Se f é par e é ímpar, ela satisfaz simultaneamente:
f(-x) = f(x)
f(-x) = -f(x)
Então podemos igualar tudo:
f(x) = f(-x) = -f(x)
f(x) = -f(x)
f(x) + f(x) = 0
2.f(x) = 0
f(x) = 0/2
f(x) = 0
Isso vale para qualquer x real.
Geralmente esses exercícios de provar, quando é dada uma definição qualquer, como você não tem muito pra onde correr, na maioria das vezes terá que usar a própria definição dada e quase nada além disso.