1) Uma função, com domínio simétrico em relação à origem, é par se f(-x) = f(x) e é ímpar se f(-x) = -f(x), qualquer que seja x pertencente ao domínio.

a) Prove que, se f é ímpar e 0 pertence ao seu domínio, então f(0) = 0.
b) Prove que, se f é par e ímpar, então f(x) = 0.

Resolução:

a) Prove que, se f é ímpar e 0 pertence ao seu domínio, então f(0) = 0.

Nesses exercícios você precisa lembrar que na verdade, f(0) é um número real. Ao substituir x por zero na função, você obterá o valor daquela função quando x = 0, então pode tratar f(0) como sendo um número.

Se temos uma função f ímpar, então ela satisfaz f(-x) = -f(x), pela definição. Se substituirmos x por zero teremos:

f(-x) = -f(x)

f(-0) = -f(0)

f(0) = -f(0)

f(0) + f(0) = 0

2.f(0) = 0

f(0) = 0/2

f(0) = 0

b) Prove que, se f é par e ímpar, então f(x) = 0.

Da mesma maneira, vamos usar as definições de função par e função ímpar. Se f é par e é ímpar, ela satisfaz simultaneamente:

f(-x) = f(x)

f(-x) = -f(x)

Então podemos igualar tudo:

f(x) = f(-x) = -f(x)

f(x) = -f(x)

f(x) + f(x) = 0

2.f(x) = 0

f(x) = 0/2

f(x) = 0

Isso vale para qualquer x real.

Geralmente esses exercícios de provar, quando é dada uma definição qualquer, como você não tem muito pra onde correr, na maioria das vezes terá que usar a própria definição dada e quase nada além disso.

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