Resolução:
Na figura tracei duas cordas AB e CD de mesmo comprimento, com seus respectivos pontos médios M e N. Traçando a reta MN obtemos os pontos P e Q na circunferência O.
Como AB = CD, se você traçar perpendiculares a essas cordas, pelos pontos médios M e N, essas perpendiculares passam pelo centro O da circunferência (são as retas OM e ON) e as distâncias OM e ON têm que ser iguais. O que faz com que o triângulo OMN seja isósceles.
Você sabe que PQ é também uma corda da circunferência. Ao traçarmos uma perpendicular a PQ pelo seu ponto médio, essa perpendicular (OH) passa pelo centro O. Mas OH é então a altura do triângulo OMN, que é isósceles e assim é também a mediana do triângulo. Concluímos que H é ponto médio de MN.
Como H é ponto médio de PQ também, temos:
MH = HN
PH = HQ
PM + MH = HN + NQ
Podemos concluir que:
PM + MH = HN + NQ
PM + MH = MH + NQ
PM + MH – MH = NQ
PM = NQ
Como queríamos demonstrar