Resolução:
O problema diz que a.b = c e diz que se somarmos uma unidade a cada um dos algarismos de “a”, “b” e “c” essa equação continua valendo.
Num número de 2 algarismos, ao acrescentarmos uma unidade a cada um dos algarismos, estaremos somando 11 unidades ao número original. Isso porque estamos somando uma unidade ao algarismo das unidades, que equivale a 1 e estamos somando uma unidade ao algarismo das dezenas que equivale a somarmos 10 unidades ao número original. Veja:
25 somando uma unidade a cada algarismo:
36, que é 25 + 11
58 -> 69 (58 + 11)
O mesmo acontece com um número de 3 algarismos. Se somarmos uma unidade a cada algarismo, estaremos somando 111 unidades ao número original, pois uma unidade a mais no algarismo das centenas equivale a somarmos 100 unidades, uma unidade a mais no algarismo das dezenas equivale a somarmos 10 e uma unidade a mais no algarismo das unidades equaivale a somarmos 1 no número inicial.
137 -> 248 (137 + 111)
E assim você pode ver que se somarmos 1 unidade a cada algarismo de um número de 5 digitos, estaremos somando 11111 ao número original:
65764 -> 76875 (65764 + 11111)
O problema diz que “a” tem 2 algarismos, “b” tem 3 algarismos e “c” tem 5 algarismos. Sabemos que somando uma unidade a cada algarismo de “a” ficaremos com (a + 11); somando uma unidade a cada algarismo de “b” ficaremos com (b + 111); somando uma unidade a cada algarismo de “c” ficaremos com (c + 11111). E como a equação continua sendo verdadeira, podemos escrever:
(a + 11).(b + 111) = (c + 11111)
ab + 11b + 111a + 1221 = c + 11111
ab – c + 11b + 111a = 11111 – 1221, como ab = c,
c – c + 11b + 111a = 9890
11b + 111a = 9890
E daqui não podemos ir muito longe. Então, como sabemos que “a” e “b” são números inteiros vou mudar a cara dessa igualdade:
11b + 111a = 9890
11b = 9890 – 111a
b = 9890/11 – 111a/11
b = (899 + 1/11) – 111a/11
b = (899 + 1/11) – (10a + a/11)
b = 899 – 10a + 1/11 – a/11
b = 899 – 10a + (1 – a)/11
Agora veja como ficou. “b” é igual a 899 menos 10 vezes “a”, (que dá um número inteiro com certeza) mais (1 – a)/11. A única parte fracionária é esse final (1 – a)/11. Então essa parte fracionária, na verdade, tem que ser inteira (pois “b” é inteiro). Dessa forma, “a” tem que ser um múltiplo de 11 mais 1, porque ao fazermos (1 – a), ficaremos com um múltiplo de 11 e essa fração será um número inteiro.
a = 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89
Como o problema diz que “a” só tem dois algarismos e que todos os algarismos de todos os 3 números (a, b, c) são menores que 9, a não pode ser 89. Então “a” só pode ser:
a = 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78
E usando a equação “b = 899 – 10a + (1 – a)/11” para calcular os valores de “b” para cada um desses valores de “a”, você encontrará que “b” será respectivamente:
b = 778, 667, 556, 445, 334, 223, 112
E como a.b = c, podemos achar os valores de “c” correspondentes:
c = 9336, 15341, 18904, 20025, 18704, 14941, 8736
Agora, de acordo com o enunciado, “c” tem 5 algarismos, todos os algarismos diferentes e menores que 9. Para os valores de “c” que encontramos temos que eliminar todos menos 1:
9336 tem 4 algarismos
15341 tem dois dígitos 1
18904 tem um algarismo 9
20025 tem dígitos repetidos
14941 tem dígitos repetidos
8736 tem 4 algarismos
O único valor de “c” que vale é então 18704, e os valores de “a” e “b” correpondentes são 56 e 334 respectivamente. Como o problema pediu a + b + c:
a = 56, b = 334, c = 18704
a + b + c =
= 56 + 334 + 18704
= 19094