1) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base comum e o vértice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro sobre e a área total do cone é 7/4.

Resolução:

Sabemos que as áreas de um cilindro e de um cone de raio R na base e altura H é:

Cil = 2pi.R² + 2pi.RH

Con = pi.R² + pi.Rg

Como foi dado que a razão entre as áreas é de 7/4, temos:

Cil/Con = 7/4

(2pi.R² + 2pi.RH)/(pi.R² + pi.Rg) = 7/4

(2R + 2H)/(R + g) = 7/4

2.(R + H)/(R + g) = 7/4

R = 7g – 8h

Como queremos saber o ângulo entre o eixo do cone (que é a altura no centro da base superior do cilindro) e sua geratriz, podemos imaginar um triângulo retângulo formado pelo eixo do cone (cateto), o raio da circunferência da base (cateto) e a geratriz (hipotenusa). Assim, o ângulo entre a geratriz e o eixo é um ângulo desse triângulo. É o ângulo entre a hipotenusa (geratriz) e o cateto referente ao eixo do cone. Chamarei esse ângulo de x. Nesse triângulo, temos que:

sen x = R/g

cos x = h/g

Então se dividirmos nossa equação toda por g teremos:

R = 7g – 8h

R/g = 7 – 8h/g

sen x = 7 – 8cos x

Elevando ao quadrado:

sen² x = 49 – 112cos x + 64cos² x

Substituindo sen² x = 1 – cos² x e simplificando:

sen² x = 49 – 112cos x + 64cos² x

65cos² x – 112 cos x + 48 = 0

Você pode resolver essa equação em cos x por Báskara, ou fatorar:

(13cos x – 12).(5cos x – 4) = 0

E assim:

cos x = 12/13

ou

cos x = 4/5

Como elevamos a equação ao quadrado, precisamos conferir as respostas porque pode ter aparecido coisas que não valem. Como cos x = 12/13, use a fórmula de Pitágoras para achar R e terá:

g = 13

H = 12

R = 5

Se você olhar em:

2.(R + H)/(R + g) = 7/4

(5 + 12)/(5 + 13) = 7/8

17/18 = 7/8

Então essa resposta não vale. Se fizer o mesmo com a outra resposta, cos x = 4/5, terá que:

g = 5

H = 4

R = 3

E será satisfeita a equação:

2.(R + H)/(R + g) = 7/4

(3 + 4)/(3 + 5) = 7/8

7/8 = 7/8

Então o cosseno do ângulo procurado vale 4/5. Como o problema pediu o ângulo você pode escrever que:

x = arccos 4/5

Se você tiver uma tabela ou uma calculadora que calcule isso verá que x é aproximadamente 36,77°.