a) 1/4 b) 1/6 c) 1/12 d) 1/18 e) 1/24
Resolução:
Temos quatro chaves que vou numerar de um a 4. Como uma está duplicada, digamos que as chaves 3 e 4 abrem a mesma fechadura. Então só temos duas maneiras de colocarmos as chaves corretamente para abrirmos as 3 fechaduras, que é colocando as chaves um e dois nos seus lugares e a 3 ou a 4 na terceira fechadura.
Agora precisamos saber de quantas maneiras podemos escolher 3 das 4 chaves e colocarmos nas fechaduras. Digamos que a primeira chave que sortearmos ficará na primeira fechadura, a segunda chave na segunda e a terceira na terceira fechadura. Assim, temos que escolher 3 das 4 chaves e a ordem em que as escolhemos faz diferença. Isso é um arranjo de 4 elementos tomados 3 a 3:
A(4, 3) = 4!/(4-3)!
A(4, 3) = 4!/1
A(4, 3) = 4! = 24 maneiras
Então temos 2 chances em 24 maneiras possíveis:
p = 2/24
p = 1/12