4) Sejam A, B, C três conjuntos não vazios com respectivamente a, b, c elementos. Se x, y, z são os números de elementos de B ∩ C, A ∩ C e A ∩ B respectivamente. Se d(B, C) quer dizer a diferença simétrica entre os conjuntos B e C, sejam ainda d(B, C) = b + c – 2x; d(A, C) = a + c – 2y e d(A, B) = a + b – 2z. Então prove que d(B, C) = 0 se, e somente se B = C.

Resolução:

O enunciado diz que o nº de elementos de B e de C é:

n(B) = b

n(C) = c

Além disso, foi dado também o número de elementos do conjunto B intersecção com C:

n(B ∩ C) = x

Queremos saber quando d(B, C) = 0, ou seja, quando:

d(B, C) = b + c – 2x = 0

Se o nº de elementos do conjunto d(B,C) = 0, esse conjunto é vazio. Agora vejamos o que podemos tirar da expressão b + c – 2x:

b + c – 2x = 0

b + c – x – x = 0

n(B) + n(C) – n(B ∩ C) – n(B ∩ C) = 0

E sabemos que o número de elementos da união de dois conjuntos é dado por:

n(B U C) = n(B) + n(C) – n(B ∩ C)

Que é exatamente o que temos!!! Então:

n(B) + n(C) – n(B ∩ C) – n(B ∩ C) = 0

n(B U C) – n(B ∩ C) = 0

n(B U C) = n(B ∩ C)

Quando é que temos então o número de elementos da união de dois conjuntos igual ao número de elementos da intersecção de dois conjuntos??? Isso só pode acontecer quando os dois conjuntos forem iguais, pois a união deles e a intersecção deles dará o mesmo conjunto, veja:

Se B = C, temos B U C = B = C e B ∩ C = B = C

Se os conjuntos são diferentes, a união dos dois conjuntos sempre terá um número maior de elementos do que a intersecção dos mesmos!