1) Seja n um número inteiro maior que zero, cujos fatores primos são n1, n2, …, np. Então qual o valor de:

1/logn1n + 1/logn2n + … + 1/lognpn?

Resolução:

Vamos escrever o que temos de uma maneira diferente, usando a propriedade de mudança de base que é:

logab = (logcb)/(logca)

Como temos a soma de vários termos do tipo 1/(logn1n), podemos escrever cada um usando essa propriedade acima, tirando sempre o logaritmo na base n. Vejamos o primeiro:

= 1/(logn1n)

= 1/(lognn)/(lognn1)

= (lognn1)/(lognn)

Mas o logaritmo de n na base n é igual a 1:

= (lognn1)/(lognn)

= (lognn1)/1

= lognn1

Então cada parcela dessa soma se transforma nisso, no logaritmo na base n de um fator primo da fatoração de n. A soma pode ser escrita assim então:

= 1/(logn1n) + 1/(logn2n) + … + 1/(lognpn)

= lognn1 + lognn2 + … + lognnp

Mas os logaritmos também têm a seguinte propriedade:

loga(b.c) = logab + logac

Então podemos usar essa propriedade no sentido inverso, colocando todos os termos que estão somando multiplicando, já que a base é a mesma para todos:

= lognn1 + lognn2 + … + lognnp

= logn(n1.n2.n3…np)

Mas foi dito que n = n1.n2.n3…np, então:

= logn(n1.n2.n3…np)

= lognn

= 1

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