1/logn1n + 1/logn2n + … + 1/lognpn?
Resolução:
Vamos escrever o que temos de uma maneira diferente, usando a propriedade de mudança de base que é:
logab = (logcb)/(logca)
Como temos a soma de vários termos do tipo 1/(logn1n), podemos escrever cada um usando essa propriedade acima, tirando sempre o logaritmo na base n. Vejamos o primeiro:
= 1/(logn1n)
= 1/(lognn)/(lognn1)
= (lognn1)/(lognn)
Mas o logaritmo de n na base n é igual a 1:
= (lognn1)/(lognn)
= (lognn1)/1
= lognn1
Então cada parcela dessa soma se transforma nisso, no logaritmo na base n de um fator primo da fatoração de n. A soma pode ser escrita assim então:
= 1/(logn1n) + 1/(logn2n) + … + 1/(lognpn)
= lognn1 + lognn2 + … + lognnp
Mas os logaritmos também têm a seguinte propriedade:
loga(b.c) = logab + logac
Então podemos usar essa propriedade no sentido inverso, colocando todos os termos que estão somando multiplicando, já que a base é a mesma para todos:
= lognn1 + lognn2 + … + lognnp
= logn(n1.n2.n3…np)
Mas foi dito que n = n1.n2.n3…np, então:
= logn(n1.n2.n3…np)
= lognn
= 1