Resolução:
Essa foi difícil. Agradeço a ajuda dos colegas da lista de discussão da Olimpíada Brasileira de Matemática.
Trabalhando com números complexos, sabemos que o módulo do produto de dois complexos ao quadrado é igual ao produto do quadrado de cada um. Seja z e w dois complexos, então temos:
|zw|² = |z|² . |w|²
Então considere os complexos:
z = 5 + 9i
w = 12 + 17i
E você terá:
|zw|² = |z|² . |w|²
|(5 + 9i).(12 + 17i)|² = |5 + 9i|² . |12 + 17i|²
|60 + 85i + 108i + 153i²|² = [raiz(5² + 9²)]² . [raiz(12² + 17²)]²
|60 + 193i – 153|² = (5² + 9²) . (12² + 17²)
|-93 + 193i|² = (5² + 9²) . (12² + 17²)
[raiz(93² + 193²)]² = (5² + 9²) . (12² + 17²)
93² + 193² = (5² + 9²) . (12² + 17²)
Então a + b = 93 + 193 = 286
Mas só que poderíamos escrever também de outra forma:
z = 9 + 5i
w = 12 + 17i
E você terá:
|zw|² = |z|² . |w|²
|(9 + 5i).(12 + 17i)|² = |9 + 5i|² . |12 + 17i|²
|108 + 153i + 60i + 85i²|² = [raiz(9² + 5²)]² . [raiz(12² + 17²)]²
|108 + 213i – 85|² = (5² + 9²) . (12² + 17²)
|23 + 213i|² = (5² + 9²) . (12² + 17²)
[raiz(23² + 213²)]² = (5² + 9²) . (12² + 17²)
23² + 213² = (5² + 9²) . (12² + 17²)
Então a + b = 23 + 213 = 236
Você poderia escrever w de outra forma também, mas aí cairíamos nas mesmas soluções.
Resposta: a + b = 286 ou a + b = 236.