2) Qual o valor de n que satisfaz a igualdade:

[17.raiz(5) + 38]1/n + [17.raiz(5) – 38]1/n = raiz(20)

Resolução:

Primeiro, vendo que os dois radicandos eram parecidos fui ver o que acontecia ao multiplicá-los:

= [17.raiz(5) + 38].[17.raiz(5) – 38]

= 1

Então se fizermos:

a = 17.raiz(5) + 38

b = 17.raiz(5) – 38

Podemos dizer que:

ab = 1

a = 1/b

E nosso problema vira:

[17.raiz(5) + 38]1/n + [17.raiz(5) – 38]1/n = raiz(20)

a1/n + b1/n = raiz(20)

(1/b)1/n + b1/n = raiz(20)

1/(b1/n) + b1/n = raiz(20)

Tirando o mínimo e arrumando tudo teremos:

(b2)1/n – raiz(20).b1/n + 1 = 0

E chamando b1/n de x, temos:

x2 – raiz(20).x + 1 = 0

Resolvendo a equação:

x = raiz(5) +- 2

Como x era b1/n:

b1/n = raiz(5) +- 2

E colocando o valor de b:

[17.raiz(5) – 38]1/n = raiz(5) +- 2

Aqui você até pode usar logaritmo para achar o valor aproximado de n. Mas você pode ir elevando o segundo membro ao quadrado, ao cubo, à quarta, etc, para ver se o radicando do primeiro membro é uma potência do que tem no segundo membro e aí para igualar era só tirar a raiz com o índice da potência que encontrou. Foi o que eu fiz:

[raiz(5) +- 2]2 = 9 +- 4.raiz(5)

[raiz(5) +- 2]3 = 17.raiz(5) +- 38

E quando cheguei no cubo já deu certo! Então temos:

[17.raiz(5) – 38]1/n = raiz(5) +- 2

{[raiz(5) +- 2]3}1/n = raiz(5) +- 2

[raiz(5) +- 2]3/n = [raiz(5) +- 2]1

3/n = 1 

n = 3

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