5) Qual a razão da progressão geométrica cuja soma dos n primeiros termos é 2^(n+1) – 2, qualquer que seja n inteiro e positivo?

Resolução:

Se a soma dos n primeiros termos da PG é Sn = 2n+1 – 2, para todo n inteiro e positivo, isso quer dizer que vale para n=1, que é a soma dos 1

primeiros termos, ou seja, apenas o primeiro termo. Então fazendo S1 teremos o valor do primeiro termo.

Sn = 2n+1 – 2

S1 = 21+1 – 2

S1 = 22 – 2

S1 = 4 – 2

S1 = 2

Isso quer dizer que a1 = 2. Usando agora a fórmula da soma para n = 2, acharemos a soma dos 2 primeiros termos, que é a soma do primeiro termo mais o segundo:

Sn = 2n+1 – 2

S2 = 22+1 – 2

S2 = 23 – 2

S2 = 8 – 2

S2 = 6

Se a soma dos dois primeiros termos é 6, temos:

a1 + a2 = 6

2 + a2 = 6

a2 = 6 – 2

a2 = 4

Como temos os dois primeiros termos, podemos achar a razão se lembrarmos que o segundo termo é o primeiro vezes a razão. Seja “q” a razão:

a2 = a1 . q

4 = 2.q

4/2 = q

q = 2

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