4) Provar que se os números a, b, c, d formam nesta ordem uma P.G. então vale a relação: (b – c)² + (c – a)² + (d – b)² = (a – d)²

Resolução:

Para resolver essa questão vamos escrever essa P.G. na forma:

(a, b, c, d) = (x/q³, x/q, x.q, x.q³)

Assim:

a = x/q³

b = x/q

c = xq

d = xq³

Agora vamos colocar tudo isso no primeiro membro da equação e ver se chegamos no segundo membro:

= (b – c)² + (c – a)² + (d – b)²

= (x/q – xq)² + (xq – x/q³)² + (xq³ – x/q)²

= (x²/q² – 2x² + x²q²) + (x²q² – 2x²/q² + x²/q⁶) + (x²q⁶ – 2x²q² + x²/q²)

= x²/q² – 2x² + x²q² + x²q² – 2x²/q² + x²/q⁶ + x²q⁶ – 2x²q² + x²/q²

= x²/q² – 2x²/q² + x²/q² + x²q² + x²q² – 2x²q² + x²/q⁶ + x²q⁶ – 2x²

= x²/q⁶ + x²q⁶ – 2x²

= (x/q³)² – 2x² + (xq³)²

= (x/q³ – xq³)²

= (a – d)²

= segundo membro