2) O número 50^50 tem quantos dígitos em sua representação decimal? Dado log2 base 10 = 0,301.

Resolução:

Primeiro, não vou ficar escrevendo log10 toda vez, para facilitar vou escrever simplesmente log.

Vamos ver os seguintes logaritmos:

log 100 = 2

log 1000 = 3

log 10000 = 4

Todo número entre 100 e 1000 tem seu log entre 2 e 3. Todo número entre 1000 e 10000 tem seu log entre 3 e 4. Assim se um número tem 3 digitos, seu log será 2,xxxx. Se esse número tem 4 digitos, seu log será 3,xxxx. Ou seja, a parte inteira do logaritmo de um número é sempre um número a menos do que o número de digitos do número. Então podemos achar o log de 5050 para sabermos quantos digitos esse número tem. Vamos supor que 5050 é igual a x e vamos tirar o logaritmo na base 10 dois dois membros da igualdade:

x = 5050

log x = log (5050), passando o expoente multiplicando,

log x = 50 . log 50

log x = 50 . log (100 / 2), usando a propriedade da divisão,

log x = 50 . (log 100 – log 2)

log x = 50 . (2 – 0,301)

log x = 50 . 1,699

log x = 84,95

Como x é 5050, e a parte inteira de seu log é 84, isso quer dizer que ele tem 84 + 1 digitos.

Resposta: 5050 tem 85 dígitos.

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